Связь формализма Джонса с теорией операторов в двухмерном комплексном линейном пространстве

Алексеев Э. И. (nis229@ire216.msk.su)

Институт радиотехники и электроники РАН, г. Фрязино Моск. обл., пл. академика Введенского, д. 1.

1. Введение

Формализм векторов и матриц Джонса широко используется как в классической поляризационной оптике [1], так и при описании поляризационных характеристик одномодовых волоконных световодов (ОВС) [2]. В последнем случае возникает ряд поляризационных эффектов, не исследовавшихся ранее. Поэтому представляет интерес рассмотрение формализма Джонса с общих позиций, опираясь на теорию операторов (матриц) в двухмерном комплексном линейном пространстве [3].

Эксперименты по исследованию поляризационных характеристик коротких отрезков ОВС показывают, что при прохождении по ним излучения одномодовых лазеров они ведут себя аналогично идеальным эллиптическим фазовым пластинкам. Следует, однако, иметь в виду, что в реальных условиях, не всегда можно пренебречь дихроизмом ОВС. Более того, при изготовлении волоконных поляризаторов дихроизм ОВС специально увеличивают до максимальной величины. Ясно, что модель отрезка ОВС как идеальной фазовой пластинки в этом случае оказывается неприемлемой.

С формальной точки зрения аналогия отрезка ОВС с идеальной фазовой пластинкой означает, что матрица Джонса рассматриваемого отрезка ОВС является унитарной. При наличии дихроизма матрицы Джонса уже не будут унитарными. Поэтому ниже мы не ограничиваемся рассмотрением только унитарных матриц Джонса и используем общую теорию линейных операторов в комплексном унитарном пространстве [3].

2. Множество векторов Джонса как комплексное унитарное пространство

Состояния поляризации плоской монохроматической волны в классической оптике описываются векторами Джонса, компоненты которых являются комплексными амплитудами проекций вектора напряженности электрического поля на оси некоторой системы координат [1].Для описания поляризационных характеристик ОВС используются обобщенные векторы Джонса [2], компоненты которых представляют собой комплексные коэффициенты разложения электрической составляющей поля направляемой моды в данном поперечном сечении по поляризационным модам ОВС. Как множество обычных векторов Джонса, Ji, так и множество обобщенных векторов Джонса, J2, формально можно рассматривать как упорядоченные пары комплексных чисел. Эти множества замкнуты относительно умножения векторов на произвольные комплексные числа и операции их покомпонентного сложения. Таким образом, J1 и J2 представляют собой комплексные линейные пространства.

J1 и J2 изоморфны друг другу и, в сущности, представляют собой различные экземпляры одного и того же абстрактного линейного пространства J размерности 2. Чтобы использовать результаты классической поляризационной оптики, мы будем в дальнейшем чаще всего понимать под J пространство обычных векторов Джонса. В пространстве J для любой пары векторов a и b определяется скалярное произведение (a , b) [3], с помощью которого вводится понятие ортогональности векторов, ортонормированного базиса и т.д.

Векторы a и b, принадлежащие J, называются ортогональными относительно введенного скалярного произведения, если (a , b) = 0. В ортонормированном базисе

(a , b) = aibi* + a2b2* (1),

где ai и bi , i = 1, 2 - координаты векторов в выбранном базисе, а звездочка означает комплексное сопряжение.

Если под J понимать множество обычных векторов Джонса, то скалярный квадрат каждого такого вектора представляет собой (с точностью до множителя) интенсивность соответствующей плоской световой волны. С другой стороны, скалярный квадрат вектора a, принадлежащего J, определяет его норму N(a) = (a, a), причем норма вектора a положительна при a Ф 0 (0 - нулевой вектор). В результате J становится унитарным пространством, т. е. комплексным линейным пространством с положительно определенной нормой [3]. При прохождении света через не деполяризующую среду векторы Джонса претерпевают линейное преобразование. Поэтому действие такой среды на вектор Джонса характеризуется некоторым линейным оператором в унитарном пространстве J. Если в этом пространстве выбран какой-либо базис, то каждому такому оператору соответствует матрица размерности 2х2 с комплексными коэффициентами, которая в поляризационной оптике называется матрицей Джонса.

3. Матрицы Джонса, их свойства и классификация

Когда информация о полной фазе или интенсивности световой волны не представляет интереса, рассматривают нормализованные векторы и матрицы Джонса, описывающие только изменение состояния поляризации излучения [1]. Ниже мы будем иметь дело главным образом с нормализованными матрицами Джонса.

В поляризационной оптике важную роль играют так называемые теоремы эквивалентности, согласно которым произвольную матрицу Джонса не деполяризующей среды можно представить в виде произведения матриц Джонса более простого вида. Это соответствует представлению произвольной не деполяризующей среды в виде последовательного включения поляризационных устройств более простого вида, например четвертьволновых и полуволновых фазовых пластинок, ротаторов и т.п. [4, 5]. В работах

[6 -9] доказан ряд теорем о представлении комплексных 2х2 матриц в виде произведения более простых матриц, каждая из которых может быть матрицей Джонса некоторого поляризационного элемента. Заметим, что эти теоремы не вошли в известные монографии по теории матриц и относительно мало известны специалистам по поляризационной оптике.

Чтобы воспользоваться этими теоремами и интерпретировать их в терминах поляризационной оптики, необходимо классифицировать матрицы Джонса, т.е. определить, какого типа матрицами описываются различные поляризационные элементы и среды. С этой целью заметим [3, 6 - 9], что матрица A над полем комплексных чисел называется: нормальной, если она коммутирует со своей эрмитово сопряженной: AA+ = +AA, унитарной, если ее обратная матрица равна сопряженной: AA+ = +AA = I (I - единичная матрица), эрмитовой, если она равна сопряженной: A = A+, унимодулярной, если ее определитель равен единице: detA - 1, инволютивной, или просто инволюцией, если она совпадает со своей обратной: A = A-1 (или A2 = I), идемпотентной если ее квадрат равен исходной матрице:

A = A, симметрической, если она равна своей транспонированной: A = A , ортогональной, если ее обратная матрица равна транспонированной: A-1 = AT. В этих выражениях крестиком обозначена операция эрмитового сопряжения. Заметим, что нельзя смешивать понятие нормальных матриц и нормализованных матриц Джонса, введенных в [1]. Что касается выбора базиса в J, то чаще всего мы будем использовать декартов базис. При этом вектор Джонса задается комплексными амплитудами проекций электрического поля волны на оси декартовой системы координат. В ряде случаев удобен круговой базис. Базисными

векторами при этом будут векторы Джонса лево- и правоциркулярно поляризованного света [1].

Нормализованные матрицы Джонса определены с точностью до скалярного множителя [1], который можно выбирать по-разному. Например, матрица Джонса идеальной эллиптической фазовой пластинки в собственном базисе, т.е. в базисе образованном ее собственными векторами, некоторыми авторами записывается в виде

D1 = diag [exp(i5), 1] (2).

Другие используют более симметричную форму

D2 = diag [exp(i 5 /2), exp(- i 5 /2)] (3)

Здесь 5 - относительная разность фаз двух собственных поляризаций пластинки, i -мнимая единица, а diag (..., ...) - диагональная матрица с элементами, перечисленными в скобках. Ниже, в зависимости от конкретной ситуации, мы будем использовать и (2) и (3).

Предположим, что нас интересуют свойства только полуволновых фазовых пластинок. Тогда с помощью матрицы (2) нетрудно показать, что нормализованная матрица Джонса полуволновой фазовой пластинки является унитарной инволюцией. Действительно, при 5 = пимеем Dn) = diag (- 1, 1) = R1, откуда следует R12 = I. Это соотношение остается в силе и в любом другом базисе, связанном с собственным базисом унитарным преобразованием. На самом деле, пусть U1 = VR1V - 1, где V - произвольная унитарная матрица. Тогда U12 = = VR1V - VR1V - 1 = VR1V - 1 = VV 1 = I.

Докажем теперь обратное утверждение: произвольная унитарная инволюция второго порядка является матрицей Джонса некоторой идеальной эллиптической полуволновой фазовой пластинки. Итак, пусть R - унитарная матрица, такая, что R2 = I. Тогда

R = R - 1 = R+ (4)

Далее, как и всякая унитарная матрица, R - унитарно подобна диагональной матрице с элементами, равными по модулю единице. Таким образом, R = VDV - 1, где D = diag [exp (i5 1), exp (i52)]; 5 1 и 52 вещественны, а V - некоторая унитарная матрица. Используя (4), а также свойство унитарности матрицы V, находим

VDV - 1 = (VDV - 1) + = VD+V - 1 (5).

Отсюда следует, что R будет унитарной инволюцией, если только D = D+, т.е. если exp (i 5 1) = exp (- i 5 1) и exp (i 5 2) = exp (- i 5 2), а это возможно лишь когда 5 1 = ± k п, 52 = ±тп, где k, m = 0, 1, 2, .... Учитывая это условие, можно представить матрицу D в виде D = diag[(-1)k , (- 1)m], откуда видно, что при четных k и m D = I и, следовательно, R есть обычная инволюция (R = I). При нечетных k и m D = - I и R = - I (т.е. R совпадает с обычной инволюцией с точностью до знака). При значениях k и m различной четности D = ± diag ( - 1, 1), и совпадает, с точностью до знака, с матрицей Джонса полуволновой пластинки, записанной в собственном базисе. Поэтому матрица R = ± Vdiag (- 1, 1)V - 1 будет матрицей Джонса полуволновой фазовой пластинки в произвольном ортонормированном базисе.

Нам понадобится в дальнейшем явное выражение для нормализованной матрицы Джонса идеальной эллиптической фазовой пластинки. Ее запись в инвариантной (справедливой в произвольном базисе) форме без учета произвольного скалярного множителя имеет вид [1]:

U = (1 + хх*) !м,

(6),

а матрица M имеет элементы:

шп = m22* = exp (i 8 /2) + х X *exp(-i 8 /2 ),

* * (7).

Ш12 = - Ш21* =2i x*sin (8/2)

Здесь х - комплексная поляризационная переменная быстрой собственной поляризации, которая для произвольного вектора Джонса (a, b)T определяется соотношением х = b/a, а 8 - относительный фазовый сдвиг собственных поляризаций. Для получения матриц Джонса в декартовом базисе следует положить [1]

X = (tg0 + itgs)/(1 - tgOtgs) (8)

где 0 - азимут, а s - угол эллиптичности быстрой собственной поляризации. Обратные соотношения имеют вид

tg 20 = 2 Rex(1 - XX*) - 1

* - 1 (9)

sin 2s = 2 Im х (1 + XX*) - 1

Определим теперь, какие идеальные фазовые пластинки описываются комплексными ортогональными и комплексными симметрическими матрицами. Учитывая унитарность матрицы U, (6), можно записать условие ее ортогональности, UT = U -1, в

T *T *

виде U = U или U = U , откуда следует, что унитарная ортогональная матрица является вещественной. Вообще, если матрица имеет любые два свойства из трех: вещественная, ортогональная, унитарная, то она имеет и третье свойство ([10], задача на стр. 29). Накладывая на матричные элементы требование вещественности, находим

sin(8/2)(1 - XX*) = 0

(10),

sin(8/2)( x + X*) = 0

Исключая тривиальный случай 8 = ±2kп, k = 0, 1, 2, ..., (при этом U = I), получаем х = = ± i. В декартовом базисе это равенство соответствует циркулярно поляризованным собственным состояниям и, следовательно, унитарная ортогональная (а поэтому -вещественная) матрица Джонса в декартовом базисе соответствует ротатору -циркулярной фазовой пластинке. Действительно, подставив в (9) значения х дек = ± i, мы получим матрицу U с элементами

un = U22 = cos(8 /2), U21 = m sin(8 /2), U12 = ± sin(8 /2) (11),

совпадающими с элементами матрицы Джонса ротатора. С другой стороны, произвольная унитарная унимодулярная ортогональная матрица второго порядка является, как мы убедились, вещественной ортогональной матрицей, матричные элементы которой могут быть представлены в виде (11), т.е. такая матрица в декартовом базисе является матрицей Джонса ротатора.

Аналогичным образом можно показать, что в круговом базисе равенство х круг = ± i соответствует линейно поляризованным под углами ± 45о базисным состояниям.

Следовательно, унитарная ортогональная матрица Джонса в круговом базисе описывает линейную фазовую пластинку с быстрой осью, ориентированной под углами - 45о или + 45о. В произвольном (эллиптическом) базисе значение хпроизв = ± i соответствует эллиптически поляризованным состояниям, и поэтому унитарная ортогональная матрица Джонса представляет в этом базисе некоторую эллиптическую фазовую пластинку.

Условие симметричности матрицы U,U = UT, приводит, если пренебречь мало интересным случаем 5 = ±2kп, k = 0, 1, 2, к требованию вещественности

комплексной поляризационной переменной, X = X . В декартовом базисе это требование соответствует линейной фазовой пластинке, так как из формул (11) следует, что s = 0, а О может принимать любое значение в допустимом для азимута диапазоне углов. В этом можно убедиться и непосредственно, подставляя в (8) и (9) значения хдек = Хдек = tgO. В результате получаем матрицу Джонса U = идек линейной фазовой пластинки в декартовом базисе, матричные элементы которой равны

u11 = exp (i5 /2)cos2 О + exp (- i5 /2)sin20 = u22*,

(12)

u12 = u21 = 2isin0cos0sin(5 /2)

С другой стороны, матричные элементы произвольной симметрической унитарной матрицы второго порядка могут быть записаны в виде (14), и поэтому такая матрица представляет собой матрицу Джонса некоторой линейной фазовой пластинки.

В круговом базисе условие вещественности комплексной поляризационной переменной, хкруг = Хкруг приводит к значениям О = 0, ± п/2 и углу эллиптичности , изменяющемуся в диапазоне - п/4<s< п/4. Таким образом, в данном случае симметрическая унитарная матрица Джонса описывает эллиптическую фазовую пластинку, большая ось эллипса быстрой поляризации которой ориентирована под углами 0, или ± п/2.

Рассмотрим теперь свойства другого класса оптических элементов - поляризаторов. Нормализованная матрица Джонса частичного эллиптического поляризатора в произвольном базисе может быть представлена в виде [1]:

P = (1 + XX*) - 1N (13),

где элементы матрицы N определяются соотношениями:

nn = exp(a/2) + XX *exp(- а/2), = 2 x*sh(a/2),

* (14)

n21 = 2 X sh(a /2), = XX *exp(a /2) + exp(- а /2).

Здесь X - комплексная поляризационная переменная собственной поляризации, которая испытывает слабое поглощение, а а - относительное затухание собственных поляризаций. Произвольный скалярный множитель выбран так, что P является унимодулярной эрмитовой матрицей, собственные значения которой таковы, что их произведение равно единице. Поскольку они к тому же всегда положительны, P является положительно определенной матрицей.

Если величина X вещественна, X = X , то матрица P описывает в декартовом базисе частичный линейный поляризатор, т. к. из (9) следует, что s= 0, а О может принимать любые значения в диапазоне - п/2 < О < п/2. Но, с другой стороны, если

X =X матрица P является вещественной и симметрической. Поэтому можно сделать вывод, что произвольный частичный линейный поляризатор описывается в декартовом

базисе некоторой вещественной симметрической унимодулярной матрицей. Справедливо и обратное утверждение: всякая вещественная симметрическая унимодулярная матрица второго порядка Q является матрицей Джонса некоторого частичного линейного поляризатора в декартовом базисе (доказательство мы не приводим ради экономии места).

В круговом базисе вещественная симметрическая унимодулярная матрица второго порядка соответствует частичному эллиптическому поляризатору, азимут слабо поглощающейся собственной поляризации которого равен либо 0, либо ± п/2, а эллиптичность может принимать любое (зависящее от х) значение. Заметим также, что приведенные рассуждения доказывают следующее утверждение: эрмитова симметрическая матрица является вещественной симметрической матрицей. Формально это можно показать следующим образом. Пусть P = P+ и, кроме того, P = PT. Тогда P = P+ = (PT) = (P )T, откуда следует, что P = P . Наоборот, пусть P = P и P = P+ = (PT) = (P )T. Тогда, очевидно, P = P .

Определим теперь, какие частичные поляризаторы описываются комплексной

T - 1

ортогональной матрицей Джонса. Из условия ортогональности, P = P , находим выражение для обратной матрицы

P - 1 = (1 + XX*) - 1 N - 1 (15),

причем элементы матрицы N - 1 можно получить из формул (14) заменой а на -а. Используя выражение для обратной матрицы P -1 , находим следующие соотношения, которым должна удовлетворять величина х, чтобы выполнялось условие PT = P - 1:

хх* = 1 х = - х* (16)

Отсюда имеем: х = ± i.

В декартовом базисе равенствам хдек = ± i соответствуют циркулярно поляризованные собственные состояния. Поэтому можно сделать вывод, что если матрица Джонса частичного поляризатора ортогональна, то в декартовом базисе она описывает частичный циркулярный поляризатор. В этом можно убедиться и непосредственно, подставив в (15) значения хдек = ± i. В результате получим, что матрица P имеет матричные элементы

pn = p22 = ch(a/2), p12 = m sh(a/2), p21 = ± sh(a/2) (17),

что совпадает с матричными элементами матрицы Джонса частичного циркулярного поляризатора [1].

Можно показать, что справедливо и обратное утверждение: всякая комплексная ортогональная матрица второго порядка, являющаяся в то же время эрмитовой и унимодулярной, представляет собой нормализованную матрицу Джонса некоторого частичного циркулярного поляризатора.

Нормализованная матрица Джонса идеального эллиптического поляризатора P id может быть представлена в виде: P id = (1 + х 1 X 1 ) - K [1], причем матричные элементы матрицы K имеют вид:

kn = 1, = X1*, k21 = X1, k22 = X1X1* (18)

Матрица P id сингулярна, detP id = 0. Нетрудно также проверить, что P id2 = P id, P id+ = P id., откуда следует, что матрица Джонса идеального эллиптического поляризатора является эрмитовой идемпотентной неотрицательно определенной матрицей.

Наряду с матрицей P id рассмотрим матрицу Q id = I - P id . Эту матрицу можно представить в виде: Q id = (1 + X1X 1 ) 1L. Матричные элементы L определяются выражениями:

I11 = X1X1*, I12 = - X1*, I21 = - X1, I22 = 1 (19).

Используя соотношение X = - 1/X 2 , связывающее комплексные поляризационные переменные взаимно ортогонально поляризованных состояний [1], находим, что матрица Q id получается из матрицы P id заменой в последней величины X 1 на X 2. Это означает, что матрица Q id является нормализованной матрицей Джонса идеального эллиптического поляризатора, полностью пропускающего колебания, поляризованные ортогонально по отношению к тем, которые полностью пропускаются идеальным поляризатором, имеющим Матрицу Джонса P id. Очевидно также, что det Q id = 0 и что Q id = Q id+. Поэтому матрицы P id. и Q id являются матрицами операторов ортогонального проектирования) [3]. Заканчивая обсуждение формальных свойств матриц Джонса идеальных эллиптических фазовых пластинок и поляризаторов (частичных и идеальных) напомним, что унитарная и эрмитова матрицы являются частными видами нормальной матрицы [3].Свойство матрицы Джонса быть нормальной играет весьма важную роль в поляризационной оптике.

Существует еще один класс оптических элементов или сред, матрицы Джонса которых являются нормальными. К этому классу относятся такие элементы и среды, в которых наряду с двулучепреломлением какого-либо типа имеется и дихроизм того же типа. Такие элементы мы будем называть дихроично-двулучепреломляющими элементами (средами) первого рода. Они ведут себя одновременно и как фазовые пластинки и как поляризаторы, имеющие одинаковые собственные поляризации. Заметим, что существуют дихроично-двулучепреломляющие элементы, в которых имеются дихроизм и двулучепреломление разных типов. Такие элементы и среды мы будем называть дихроично-двулучепреломляющими элементами и средами второго рода. Такие элементы часто реализуются в волоконно-оптических устройствах.

Матрица Джонса T дихроично-двулучепреломляющего элемента первого рода может быть представлена в виде произведения коммутирующих друг с другом эрмитовой (H) и унитарной (U) матриц [3].

T = HU = UH (20),

где H есть эрмитова матрица некоторого частичного поляризатора, а U - унитарная матрица некоторой идеальной фазовой пластинки. Заметим, что полученное разложение остается в силе и для сингулярной матрицы T, в этом случае матрица H будет матрицей Джонса идеального поляризатора.

Используя представление (20) и полученные выше результаты о связи комплексных ортогональных и симметрических матриц второго порядка, с соответствующими матрицами Джонса можно определить, какие дихроично-двулучепреломляющие элементы первого рода описываются симметрическими и ортогональными матрицами Джонса и наоборот. Для этого достаточно воспользоваться соотношениями:

TT = UTHT = HTUT , T - 1 = U - 1H -1 = H - 1 U - 1 (21).

T - 1

Тогда из условий T = T и T = T получаем, что для компонент разложения T на

множители должны соответственно выполняться соотношения U = U, H = H, и

U - 1 = U, H - 1 = H. Таким образом, дихроично-двулучепреломляющий элемент первого

рода с ортогональной (симметрической) в декартовом базисе матрицей Джонса

представляет собой последовательное соединение циркулярной (или линейной) фазовой пластинки и циркулярного (или линейного) поляризатора

Нормальные матрицы играют особую роль в поляризационной оптике. Это объясняется тем, что такие матрицы (и только они) имеют полную ортонормированную систему собственных векторов. Поэтому только те оптические элементы и среды, матрицы Джонса которых являются нормальными, характеризуются ортогональными собственными поляризациями. К их числу относятся идеальные эллиптические фазовые пластинки, частичные и идеальные поляризаторы, а также дихроично-двулучепреломляющие элементы первого рода. Все другие оптические элементы и соответствующие им матрицы Джонса имеют не ортогональные системы собственных векторов (поляризаций). Необходимо отметить, что произведение двух нормальных матриц, вообще говоря, не является нормальной матрицей, если только сомножители не коммутируют друг с другом [3]. Поэтому последовательное включение двух (или большего числа) элементов, каждый из которых характеризуется ортогональными собственными поляризациями, не обязано иметь ортогональные собственные поляризации. Точно так же произведение двух эрмитовых матриц в общем случае не является ни эрмитовой, ни нормальной матрицей.

В то же время множество унитарных матриц является группой по умножению, так что произведение двух (и любого числа) унитарных матриц снова будет унитарной матрицей, а значит - нормальной матрицей. Поэтому совокупность любого числа последовательно установленных фазовых пластинок всегда имеет пару различных ортогональных собственных векторов Джонса.

Таким образом, нличие в оптической системе (среде) только двулучепреломления, хотя бы и разных типов, не приводит к появлению не ортогональных собственных поляризаций; причиной их возникновения является наличие в системе дихроизма различных типов или наличие дихроизма одного и двулучепреломления другого типа. Этот вывод имеет важное практическое значение. Он позволяет заключить, что если экспериментально наблюдаются не ортогональные собственные состояния поляризации то в системе имеется дихроизм разных типов или или дихроизм и двулучепреломление разных типов. Возникновение такой ситуации весьма вероятно при использовании одномодовых волоконных световодов (ОВС). Здесь возможно создать в одной цепи разные виды двулучепреломления и дихроизма.

В самом общем случае оптический элемент или совокупность элементов описываются произвольной комплексной матрицей второго порядка, собственные векторы которой не обязаны быть ни ортогональными, ни даже различными. Как говорилось выше мы будем называть такие элементы или их совокупность дихроично-двулучепреломляющимися элементами второго рода

Обычно вопрос о структуре или классификации таких элементов не рассматривается, по-видимому, вследствие того, что ситуация считается настолько общей, что отсутствует какая-либо основа для такой классификации. Между тем, в теории матриц имеется теорема (теорема о полярном разложении), позволяющая решить эту проблему. Согласно этой теореме произвольная матрица над полем комплексных чисел может быть представлена в виде произведения неотрицательно определенной эрмитовой матрицы и унитарной матрицы [3]. В общем случае сомножители не коммутируют, т. е. их собственные векторы различны.

Таким образом, произвольный дихроично-двулучепреломляющий элемент второго рода эквивалентен последовательному включению частичного поляризатора (эрмитов сомножитель) и идеальной фазовой пластинки (унитарный сомножитель). Его матрица Джонса T имеет, следовательно, вид:

T = HU = U1H1

(22),

где H и H1- неотрицательно определенные эрмитовы матрицы, а U и U1- унитарные матрицы. Для классификации и описания свойств такого элемента можно теперь воспользоваться свойствами и классификацией его эрмитовой и унитарной компонент. Для этого необходимо по матрице T найти явные выражения для сомножителей U и U1, а также H и H1. Эта задача, однако, выходит за рамки настоящей работы и будет рассмотрена в другой статье.

4. Заключение

В настоящей работе рассмотрена глубокая связь формализма матриц Джонса, использующегося в поляризационной оптике, с теорией операторов в двухмерном комплексном унитарном пространстве. Изучены свойства и дана классификация матриц Джонса в терминах операторной алгебры над полем комплексных чисел. Это позволило использовать в формализме Джонса не только классические результаты, излагаемые в монографиях по матричной алгебре, но и ряд журнальных публикаций, результаты которых не отражены в упомянутых монографиях. Настоящая работа может служить строгим обоснованием ряда новых теорем эквивалентности поляризационной оптики. На основании теоремы о полярном разложении произвольных комплексных матриц второго порядка введены понятия о дихроично-двулучепреломляющих поляризационных элементах первого и второго рода.

Литература

1. Азам Р., Башара Н. Эллипсометрия и поляризованный свет. М., Мир, 1981.

2. Ghatak A, Thyagarajan K. An introduction to Fiber Optics. Science, 1998.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1975.

4.Алексеев Э.И., Базаров Е.Н., Израелян В.Г. О теоремах эквивалентности

поляризационной оптики и оптики одномодовых световодов , Квантовая электроника, № 2, стр. 182 -184, 1984.

5. Yao S. Polarization in Fiber Systems.Squeezing out More Bandwidth. In. The Photonics Handbook , Laurin Publishing, 2003.

6. Ballantine C. S. Products of Involutory Matrices . Linear and Multilinear Algebra, no. 1, pp.53 - 62, 1977.

7. Gow R. The Equivalence of an Invertuble Matrix to Its Transpose . Linear and Multilinear Algebra, no. 8, pp. 329 - 336, 1980.

8. Taussky O. The role of symmetric matrices in the study of general matrices . Linear Algebra and Appl., no. 5 pp. 147 - 154, 1972.

9. Radjavi H., Williams J.P. Products of self-adjoint operators . Michigan. Math. J., vol. 16,

pp. 177 - 185, 1969.

10. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М., Наука, 1970.