Рис.1. Схема расположения трех коронирующих проводов

Уравнения электрического поля без объемных зарядов, используя комплексную плоскость, в которой ось X соответствует поверхности земли, а осьY направлена по центральному проводу, можно описать следующим образом (*).

Моделирование и классификация электрических полей, возникающих в коронирующих проводах над землей

Палей А.А., Лапшин В.Б., Мелешков Ю.С., Жохова Н.В. teoin@bk.ru)

Государственный океанографический институт

В ходе теоретических и экспериментальных исследований выявлен, а в ряде патентов использован [1-5] механизм воздействия ионизации на фазообразование, установлены признаки, указывающие на активизацию процессов конденсации паров при воздействии на водно-воздушную смесь коронным разрядом.

Для изучения процессов, инициирующих конденсацию, необходимо знать распределение зарядов, создаваемых системой коронирующих проводов. Важно выяснить, как зависит область распространения заряда от геометрических и электрических параметров системы коронирующих проводов.

Для этих целей была создана компьютерная программа, моделирующая электрическое поле и заряды, возникающие в системе трех коронирующих проводов (рис.1). По результатам численного моделирования различных вариантов (пространственного расположения проводов и знака разряда) проведена классификация конфигураций силовых линий электрического поля, так как именно они в основном определяют распределение объемного заряда по пространству.

U=(p+i\/=axln(z-i/z+i)+ bln[[z-(w+ih)/z-(w-ih)]x[ z+(w-ih)/z+(w+ih)]], (1)

где

U-комплексный потенциал,

z=x+iy - точка комплексной плоскости,

ф - потенциал электрического поля,

\/ - силовые линии электрического поля,

h,w- безразмерные расстояния между проводами (w=W/H1) и высота нижнего провода (h=H2/H1).

Константы a и b определяются из условия постоянства потенциала электрического поля на поверхности проводов.

ф(0,1)=axln(r0/2) +bxln[w2+(1-h) 2/ w2+(1+h) 2] , (2)

ф(w,h)=bxln(r0w/2hr) +(a/2)ln[w2+(1-h) 2/ w2+(1+h) 2] , (3)

где

r0 -безразмерный радиус проводов (в нашем случае величина порядка 10 -4), r = (w2+h2)1/2 - расстояние от начала координат до нижнего провода.

Эти формулы весьма точно описывают нашу физическую модель. Погрешность состоит только в том, что распределение потенциала электрического поля на поверхности проводов отличается от постоянного, даваемого формулами (2)-(3), на величину порядка безразмерного радиуса провода, т.е. 10 -4. Это значительно меньше естественной неоднородности поверхности проводов, не говоря уже о точности физической модели.

Подчеркнем, что константы a и b могут быть разного знака (случай разноименно заряженных проводов), хотя потенциалы на них будут одного и того же знака. Например, высокий отрицательный потенциал на коронирующем проводе создает в месте расположения управляющих проводов значительный отрицательный потенциал, и нулевой или малый отрицательный потенциал на управляющих проводах соответствует в данной модели положительному заряду, где a и b будут разного знака.

Формально первая часть задачи сводится к нахождению в плоскости (x,y) линий, на которых постоянны силовые линии, т.е. линии \/(x,y)=const. Из (1) следует аналитическое выражение для (x,y):

y(x,y)=ax arctg[2x/1-(x2+y2)] + b arctg{4hx[r2-( x2+y2)]/ [r2-( x2+y2)] 2+4(y2w2-x2h2)}. (4)

Формула (4) верна только в некоторых областях плоскости (x,y), что следует из многозначности функции arctg(z). Чтобы правильно отобрать и сшить нужные ветви

Рис. 2

1 случай. b=0, z=oo - единственное решение. Белый кружок - положение провода При a=0, т. е. при наличии только нижних проводов, корней три: z=ir, z=-ir, z=o . Этот случай, изображенный на рис. 3, соответствует наличию только нижних

функции (4), необходимо определить линии сшивки - разрезы функции. Расположение этих линий зависит от всех 4 параметров задачи (a,b,w,h) и может быть определено только численными методами, что и реализуется в компьютерной модели.

Основной вычислительной трудностью этой задачи является чрезвычайно широкий диапазон характерных размеров задачи, которые изменяются в 104 раз. Чтобы правильно рассчитать искомые характеристики, необходимо заранее иметь качественное представление о характере поведения силовых линий.

Классификацию различных типов распределения силовых линий проведем по особым точкам комплексного потенциала (1). Для этого определим те точки, в которых производная комплексного потенциала обращается в ноль. Напомним, что физически это точки, в которых напряженность электрического поля равна нулю, то есть малая заряженная частица формально будет находиться в этих точках бесконечное время.

Комплексная производная потенциала имеет вид:

Uz=2i [a/z2+1 +2bh (z2+r2)/( z2+r2)2-4w2z2], (5)

Производная Uz=0 имеет в общем случае 5 корней. Один из них всегда z=oo.

При b=0, т.е. при наличии только одного верхнего провода, этот корень z=oo является единственным. Все силовые линии от единственного провода идут по направлению к земле. Максимальная напряженность поля при x=0. Это решение схематически изображено на рис. 2.

Рис. 3

2 случай. a=0, три корня: z=ir, z=-ir, z=oo. черный кружок - особая точка, белый кружок - положение провода

Во всех остальных случаях имеются все 5 корней. В силу симметрии (4), кроме любого корня z0 реализуются и корень - z0 , и корень комплексно сопряженный с z0 , что позволяет рассматривать корни только в первом квадранте комплексной плоскости.

Сначала рассмотрим наиболее простой случай одноименно заряженных проводов (a и b одного знака). Эта ситуация изображена на рис. 4 и рис. 5. Особая точка расположена между верхним и нижним проводом. При небольших значениях b часть пространства занимают силовые линии нижних проводов. Линии, разделяющие силовые линии верхних и нижних проводов (сепаратрисы) изображены жирными линиями. Физически важно, что маленькие заряженные частицы, которые движутся вдоль силовых линий, не могут пересечь сепаратрис. Поэтому ионы от верхнего коронирующего провода не будут попадать в область силовых линий нижних проводов, и будут как бы выталкиваться ими из части пространства.

(управляющих) проводов. В особой точке (на оси Y) электрическое поле обращается в ноль.

Рис. 4

a и b одного знака, b принимает малые значения

На рис. 5 изображена ситуация, в которой достаточно сильный потенциал нижних проводов полностью выталкивает силовые линии верхнего провода из пространства между проводами. В этом случае существенно изменяется распределение по сравнению с предыдущим. С математической точки зрения - комплексная особая точка переходит в две чисто мнимые точки.

Рис. 6

a и b разных знаков, заряд верхнего провода отрицательный, малый положительный заряд на нижнем проводе На рис. 7 изображена схема силовых линий, когда достаточно большой потенциал нижних проводов замыкает на себя много силовых лини верхнего провода. Нижние провода не пропускают между собой силовых линий верхнего провода. Обе, чисто мнимые, особые точки расположены ниже нижних проводов.

Рис. 5

а и b одного знака, b велико. Когда a и b разных знаков, проявляется несколько больше качественно разных типов поведения силовых линий. Достаточно малый положительный заряд на нижнем проводе (если верхний отрицателен) замыкает часть силовых линий на себя и уменьшает длину силовых линий верхнего провода по сравнению со случаем, когда a и b одного знака. Оба эти фактора увеличивают ток коронного разряда от верхнего провода. С математической точки зрения - комплексная особая точка переходит в область ниже нижнего провода. Схема этого случая представлена на рис. 6.

Рис. 7

a и b разных знаков, заряд верхнего провода отрицательный, большой положительный заряд на нижнем проводе На Рис. 8 схематически изображен случай, когда потенциал нижних проводов достигает величины, достаточной для того, чтобы заряды стали непосредственно реагировать со своими зеркальными изображениями. Часть силовых линий нижних проводов замыкается на верхнем проводе, часть уходит в землю. Одна особая точка на мнимой оси, другая - на действительной.

Рис. 9

a и b разных знаков. Дальнейшее увеличение потенциала на нижнем проводе Компьютерный расчет позволяет при различных параметрах a,b,w,h определить

точное положение особых точек и сепаратрис при различных значениях потенциалов

проводов.

Заключение

Создана компьютерная программа, рассчитывающая электрические поля и распределение объемного электрического заряда вокруг системы коронирующих проводов.

Численное моделирование различных вариантов расположения проводов и величин их зарядов позволили провести классификацию типов силовых линий.

Для создания возможно большей рабочей области объемного заряда от коронирующих проводов необходимо учитывать следующие обстоятельства.

Высокое отрицательное напряжение на нижних проводах значительно увеличивает длину силовых линий верхнего провода. Такая схема подачи напряжений на провода выгодна с точки зрения эффективного разворота силовых линий поля верхнего провода

Рис. 8

a и b разных знаков. Потенциал нижних проводов достиг той величины, при которой заряды стали реагировать со своими зеркальными изображениями Увеличение потенциала на нижних проводах постепенно полностью отделяет силовые линии верхнего провода от земли, а затем полностью замыкает все силовые линии верхнего провода. Эта ситуация изображена на Рис. 9. Особые точки потенциала вновь перемещаются на мнимую ось, но одна из них всегда выше верхнего провода.

вверх. Однако заметим, что это неизбежно вызывает уменьшение тока (т. к. ток от коронирующего провода обратно пропорционален квадрату длины силовых линий) и, следовательно, концентрации ионов во всей области короны.

В случае, когда управление распределением зарядов от короны осуществляется заземленными или положительно заряженными нижними проводами, значительно увеличивается интенсивность тока от коронирующего провода. Это связано не только с уменьшением критических напряжений, но и с уменьшением длины силовых линий верхнего провода. В этом случае максимальный ток сосредоточен в области между верхним и нижними проводами, одновременно увеличивается и ток к земле от верхнего провода.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект №04-05-64624

Литература

1. Балабанов Е.М. Дисперсные системы в электрическом поле коронного разряда . - Дис. на соиск. уч. ст. д.т.н., М., 1953, 460 л.

2. Лапшин В.Б., Мелешков Ю.С., Палей А.А. Расчет электрических полей и зарядов, возникающих в коронирующих проводах над землей. - Труды Пермского госуниверситета, вып. 12, 1998

3. Лапшин В.Б., Палей А.А., Попова И.С., Огарков А.А. Способ конденсации паров. Международная заявка РСТ №4/1/98/00196,1998., PCT WO 99/65584 от 23.12.1999

4. Лапшин В.Б., Палей А.А., Попова И.С. Способ рассеивания туманов и облаков. Патент РФ № 2101921 МКИ А0Ш 15/00,1996.

5. Лапшин В.Б., Яблоков М.Ю., Палей А.А. Давление пара над заряженной каплей. Журнал физической химии. - 2002. - Т. 76. - №10. - С. 1901-