Разделы
Главная Сапромат Моделирование Взаимодействие Методы Инновации Индукция Исследования Факторизация Частоты
Популярное
Как составляется проект слаботочных сетей? Как защитить объект? Слаботочные системы в проекте «Умный дом» Какой дом надежнее: каркасный или брусовой? Как правильно создавать слаботочные системы? Что такое энергоэффективные дома?
Главная »  Плотность состояний 

Плотность состояний приповерхностных электронов кристалла в постоянном электрическом поле.

Пейсахович Ю.Г.( e-mail: ygp@nspu.nsu.ru) Новосибирский государственный педагогический университет

1 Введение.

Одной из важных задач физики твердого тела является изучение структуры волновых функций и энергетического спектра электронов в кристалле мезоскопическо-го размера при наличии внешних статических полей. Во внешнем электрическом, магнитном поле, при неоднородных деформации или профиле легирования характерная длина изменения непериодической части потенциальной энергии электрона в объеме может быть порядка длины решетки. С ростом напряженности такого внутреннего поля делаются все менее эффективными применение периодических граничных условий и разложимость огибающих решений в тригонометрические ряды Фурье с основной гармоникой периода длины решетки, использование квазиимпульса и связанного с ним однородного фазового К-пространства с ячейкой на одно квантовое состояние по объему равной обратному объему кристалла.

В нашей работе [1] было показано, что при включении постоянных скрещенных магнитного и электрического полей разрушение однородности К-пространства начинается с границ зоны Бриллюэна, описывается сильной сингулярностью метрики обратного пространства по расстоянию от Брэгговской плоскости, и этот коллапс ведет к особенности в плотности состояний.

Сильнее всего электрическое поле влияет на состояния, волновые функции которых имеют самые длинноволновые огибающие и по энергии находятся вблизи порогов зон, в полосе ширины ей, где и - приложенная разность потенциалов. Электроны в этих состояниях оказываются наиболее прижатыми к границе, их формальное описание весьма напоминает описание таммовских поверхностных состояний [2]. Однако, в отличие от таммовской, поверхностная локализация в электрическом поле имеет место даже для бесконечно высокого потенциального барьера у границы.

Подчеркнем, что рассматриваемый нами случай слабого поля противоположен пределу очень сильной связи в узлах и сильного электрического поля, который приводит к спектральной лестнице Ванье-Штарка и в последнее время широко обсуждается в связи с экспериментами в полупроводниковых сверхрешетках [3]. Наша ситуация типична для металлов или полупроводников, когда, при достаточно слабой связи электронов с решеткой, из-за экранировки поля или столкновений с границами, примесями и другими дефектами в объеме на длине свободного пробега нельзя создать большую разность потенциалов, передающую электронам энергию, сравнимую с шириной зоны.



Уменьшение плотности состояний на порогах зон существенно изменяет аналитический характер ван-хововских особенностей, причем вид этих особенностей определяется не только размерностью решетки, но и очень сильно зависит от величины и ориентации внешнего электрического поля относительно кристаллографических осей . Предсказываемые зависимости проявляются в межзонной плотности состояний и доступны экспериментальной проверке по оптическим [4] и фотоэмиссионным [5] спектральным распределениям.

Выявленные особенности могут составить основу дополнительного механизма, объясняющего отклонения от линейного закона Ома в висмуте [6],[7] и некоторых полупроводниках [8]. Подробнее этот механизм будет обсужден в следующей статье [9].

2 Выбор модели.

Рассмотрим одномерную модель кристалла в статическом внешнем поле. Потенциальную энергию электрона представим в виде

U(x) = U0(x) + Vs(x) + V(x) (1)

где Uo (ж) -периодическая часть энергии взаимодействия электрона с решеткой, состоящей из N ячеек с периодом элементарной трансляции d} Vs(ж) описывает барьеры на границах при ж < 0 и ж > Nd, a V(x) - непериодическое возмущение. Для стационарного уравнения Шредингера значения решений ф(х) в двух точках х\ и ж2 связаны трансфер-матрицей

Матрица перехода МХ2Х1 выражается через матрицы Вронского фундаментальной системы решений ф\(х) и ф2(х)}взятые в х\ и ж2 [1],[10]

Будем рассматривать состояния с энергией ниже потенциальных барьеров на границах, которые считаем прямоугольными и расположенными при х\ = жд < 0 и х2 = хя > Nd. Подставляя в (2) связанные с ними граничные условия ф' = Х1Ф0 и ф' = -ХгФй (xi и Хг ~ коэффициенты экспоненциального затухания под барьерами) имеем уравнение на спектр энергии

D(M) = М21 + х/М22 + XrMn + XiXrM12 = 0 (4)

в котором Mij(i,j = 1, 2) -элементы трансфер-матрицы М = MfjNM]y0M0Q} где выделены матрицы перехода через нерегулярные приграничные участки (0,0) и (N}N)} как и XhXr они происходят от потенциала Vs(x) кристалла.



3 Энергетические зоны и таммовские поверхностные состояния.

Если непериодическое поле отсутствует V(x) = 0, то матрица перехода М = М^о на период решетки d является матрицей монодромии [11] для уравнения Шредингера. Ее целая степень выражается формулой Абеле [10]

Мп = Un-1(t)M-Un-2(t)I, I I 1 S..\/ (5)

где /-единичная матрица, а коэффициенты равны полиномам Чебышева 2-го рода [12]

sin Knd

Un-i(t) = --, \t\ < 1, Kd = arccos t (6)

sin A a

(tJEt) -1, t>l, Kd = ln(\t\ + /\t\2-l) (7)

Волновую функцию в узле решетки х = nd получаем из

(I) п = МПМ™ ( -xi) Ф = Mn~NM (I) фм (8)

то есть а) собственное решение устойчиво в зоне с комплексными значениями на единичном круге характеристических показателей мультипликаторов (логарифмов собственных значений М)[4], когда \t\ < 1 и огибающая волновой функции осциллирует с периодом 2пК~1, б) собственное решение неустойчиво, но может произойти таммовская локализация у граничных поверхностей для действительных значений характеристических показателей после их столкновения, когда \t\ > 1, характерная длина экспоненциального затухания огибающей вглубь кристалла Дж = К-1. . Это справедливо для любой формы периодических барьеров Uo (ж) при длине кристалла L = Nd меньше длины свободного пробега электронов относительно неупругих процессов рассеяния.

Поскольку Mjvo = MN, то спектральное уравнение (4) можно записать в виде

UN.l(t) = AUN-2(t), Д = D(m0)D(m)~1 (9)

m = Д/\ \ .\М/ . m0 = \/ч \ \/(И,

а) при \t\ < 1 в зонах устойчивости это дает

sin(AМ + в(К)) = 0 (10)



Параметр К естественно отождествить с квазиимпульсом, однако из-за ограниченности кристалла в пространстве счетное множество допустимых значений К в зоне Бриллюэна определяется корнями уравнения

KL + 6(K) = vir, v = 1,2,..., N- 1 (11)

Функция 6(К) описывает слабое отклонение от однородности А -пространства на порогах вблизи границ зон Бриллюэна. Это проявляется в метрике фазового пространства квазиимпульсов

и в плотности состояний dvjdE, поскольку К = К(Е) из (6), при этом в зависит от К как явно, так и через энергию, которая входит в А. Для нарушений периодичности мелкого по х масштаба (резкая граница, одиночные примеси), очевидно, что de/dK <С L. Ниже мы покажем, что это неравенство может заметно нарушаться для возмущений периодичности U(x), масштаб которых сравним с мезоскопически-ми размерами кристалла.

В рассматриваемом модельном случае в(К) = 0, если D(rh0) = 0 или если ш0 = I и XhXr °°? т-е- барьеры на границах непроницаемы.

б)при \t\ > 1, ( \t\ = ch Kd) и iV > 1 из (9) получаем уравнение на спектр таммовских состояний

eRd = ±Д (13)

где верхний знак соответствует t > 1, нижний t < -1.Видно, что для пластин тоньше длины квантовой корреляции показатель К в гиперболических огибающих (7),(8) одинаков у левой и правой границы и зависит от формы барьеров на обеих. Уравнение (13) не имеет решений, если m0 = I и барьеры непроницаемы;, \г ~ оо). .

4 Система во внешнем поле.

Если на систему действует непериодическое поле V(x), то матрица перехода через N ячеек

Мт = П Мп+1,п , ... Мп+1,п ... Л/.мЛ/,. (14)

В каждой из унимодулярных матриц Mn+ijfl перехода через элементарную ячейку (п,п + 1) выделим добавку Тп, связанную с полем V(x)

Мп+1,п = М{1 + Тп) (15)



Обозначим

Gn = М~пТпМп = Тп + 2-1U2n-1(t)Tn - и2п г(1)11тп (16)

где тп = ТпМ - МТп-коммутатор, a jl = М - tl-бесследовая матрица, тогда

MN0 = MN(I + G(N)) (17)

n-l n-1n-1 n-l n-l n-l n-l

G(N) = GB+EE GiGn + + E E E GjGiGn + + П (MT ) (18)

n=0 n=0 i>n n=0 i>n j>i n=0

В (18) всего N подсумм, подсумма р-го порядка содержит слагаемых и связана с частичными суммами Фурье-разложений возмущающих матриц (16) по полиномам Чебышева. В Gn и G(N) имеется сильная сингулярность при \t\ ~ 1, то есть на порогах зон [1]. С приближением к пороговой сингулярности все подсуммы в (18) становятся одного порядка, но в непосредственной окрестности порогов зон суммированию наиболее расходящихся диаграмм соответствует решение уравнения типа уравнения Ванье, которое получим, если запишем вторую разностную производную

(j)K+, + M,-2/)()B(i W

Вблизи порогов зон \t\ = 1 одношаговые или двухшаговые матрицы (15) близки к единичным. Раскладывая их элементы по малому возмущению уравнения Шредин-гера е - V(nd) имеем

*Ч^(г-К(* *-0. т- = ТЦ)2(§) (20,

где е - расстояние по энергии от порога, тп* - эффективная масса, что позволяет рассчитать ход огибающих волновых функций и плотность состояний. Подчеркнем, что в (20) не используются теорема Блоха и представление Ванье [13].

Далее будем считать, что при ж = 0 и ж = L имеются непроницаемые стенки ( Мб0 = MNN = I,xi = Xr

спектральное уравнение (4) имеет вид (Mjv0)i2 = 0 или

UN.x(t) = 8UN-2{t) (21)

G12(N)

M12(l + G22{N)) + MUG12(N)

Уравнение (21) , как и (9) , является точным, однако в нем очень существенна зависимость от t, N и V(x) через G(N). Достаточно сильное поле V(x) качественно изменяет характер зонного спектра вплоть до невозможности пользоваться понятиями блоховской теории. Так, в сильном электрическом поле Mn+ijfl выражаются через функции Эйри и при сильной связи электронов в ячейках мы получаем



спектр в виде лестницы Ванье-Штарка [3]. Нас будет интересовать другой предельный случай настолько слабого и плавного поля V(x), что еще можно эффективно использовать представления фазового пространства квазиимпульсов и квазиклассического приближения. Эта ситуация обычна для физики металлов [13] , когда при \t\ < 1 решения (21) образуют энергетические зоны состояний с почти периодическими огибающими волновых функций ф(п(Г) = (Мпо)12ф'(0) и квазиимпульсами А , а при \t\ > 1 дают серию локализованных полем V(x) состояний с гиперболической огибающей масштаба А -1. В однородном электрическом поле это поверхностные состояния блоховских электронов прижатых к границе. Существенно, что они сгруппированы вблизи дна и потолка разрешенной зоны и, в отличие от таммовских состояний, не требуют конечности скачка поверхностного барьера.

5 Система в электрическом поле.

В однородном электрическом поле V(x) = -eFx. У порогов t = ±1, в области пределов применимости приближения эффективной массы т* имеем

- = И-Д,-\-f=, р= , Д) ~ 1 (22)

ае \ е We 2тгп

Внутри области где неоднородность А -пространства велика, добавка G не мала и в суммах (18) следует учитывать высшие гармоники. Для решений, соответствующих \t\ > 1 все подсуммы в (18) одного порядка, в масштабах постоянной решетки d решение неустойчиво по Ляпунову. Для дырочных состояний вблизи потолка зоны огибающая волновой функции ф() с ростом п сначала растет по закону shKL, а затем при п > 1/Kd из-за вклада в (18) подсумм высокого порядка в ней проявляются осцилляции большой амплитуды, описывающие прижим электронов к правой стенке и увеличение скорости составляющих их прямой и отраженной парциальных волн. Для электронных состояний вблизи дна зоны то же поле прижимает частицы к левой стенке. Решение уравнения (20) для электрона массы тп* в прямоугольной яме ширины А с однородным электрическим полем V(x) = -eFx имеет вид

ф(х) = тг (Ai(£ ) Bi(0 - Bi(£ ) Ai(0) Ф'(0) (23)

где £ = (ж - Жо) , £о = -х~о/1} ж^ = е/е| А, / 1 = %~2{2тп* \е\ А)1/3, а дискретный спектр е определяется уравнением

Ai(£o) Bi(&) - Bi(£0) Ai(&) = 0, iL = {L- xj)/l (24)

Плотность состояний растет с е, так в слабом поле А для широкой пластины А 3> ж^ > / ( пока Ае > е| AA > е > Ае (е| Ао?/Де)2/3, где Ае = h2/2m*d2- параметр порядка ширины зоны ), уравнение (24) сводится к Ai(£o) ~ sin(2 lo]23 /3 + 7г/4) = О, откуда, как известно [14]



de е| V тгАе \e\FL

где (е| Fd) 1 = (df / de)ws ~ плотность состояний лестницы Ванье-Штарка.

С другой стороны, припороговая плотность состояний в одномерном кристалле df / de = /3/л/ё, она сравнивается с (25) при е ~ \e\FL} что согласуется с оценкой (22) , то есть относительное число локализованных электрическим полем припо-

верхностных состояний у порога в зоне (f/N) ~ (е| FL/Ае) определяется отношением приложенной разности потенциалов е| FL к ширине зоны Ае. Результаты (22),(25) объединим в интерполяционную формулу

df , 0 ,

f(e,F)

V\FL , ,

1 - /30--, еП е

е

2е , ,

е FL > е

е| FL

Интерполирующая функция /(е, F) качественно напоминает fo(e} F) = (1 + е| F L/2e)~1. Плотность состояний имеет экстремум вблизи е = е| FL.Уменьшение плотности состояний (26) означает, что зона становится шире примерно на eFL. В пределе очень сильного поля eFL > Ае плотность состояний должна стремиться к постоянной плотности Ванье-Штарка (eFd)~l.

При выводе (26) совсем не учитывалось размытие особенностей, связанное с процессами неупругого рассеяния электронов. Для этого длина регулярной решетки L должна быть мала по сравнению с длиной свободного пробега А = (ph/m*)} где 7-эффективное затухание, тогда, если eFA 3> 7, то имеется резерв для выполнения неравенства eFL > 7 и особенность будет наблюдаема. Аналитический вид размытой особенности плотности состояний получим сверткой (26) с мнимой частью функции Грина G£(E) электронов [5]

тС.да/й (27)

ImG£(E)

тг(е- А)2+ 7

тогда

± = ±J£ + (£2 + f(e2 + l2)-1/\ \e\FL e de л/2V { 7 1 (\e\FL)-\ eFL e



6 Двух- и трехмерные ван-хововские особенности в электрическом поле.

Слабое электрическое поле изменяет характер пороговых ван-хововских особенностей также в двух- и трехмерных кристаллах. Поскольку у уравнения Шредингера с потенциальной энергией V(r)=-eFr в координатах кристаллографических осей происходит разделение переменных, то (в пренебрежении размытием 7) плотность состояний (26) можно отнести к каждому измерению

dui = fi(ei,Fi)-=de, А = !(МУ/2 (29)

л/е Air \ h I

где га* - эффективная масса, L{- длина кристалла вдоль г-оси, F{- проекция электрического поля на эту ось.

6.1 Двумерная решетка: е = Е\ + £2, £; = р2. Pi пропорциональны квазиимпульсам Ki только в глубине зоны Бриллюэна. Вводя эффективные полярные координаты Pi = р cos tp} р2 = р sin (f имеем

dv = / dvxdv2 = /З1/З2Ф2 (e)de (30)

J if

В удалении от порога в > \е \ F{Li

Ф2 (е) = д2в (е)1-е-1 J2fJt\e\FL в = { J ° (31)

где д2 ~ fii ~ (1 -I- 10)7Г- параметры формы изоэнергетических поверхностей у порога.

Вблизи порога е <с \е \ F{Li

(1.)если порог локализован у грани зоны Бриллюэна, перпендикулярной г-оси

Ф2(е) = pJe(\e\FiLi)-1 (32)

(2.)если порог локализован у угла, то

Ф2(е) = се2П(е|№) 1 (33)

8 = 1

где /3/, (Зс ~ 7Г- структурные факторы. Характер особенности зависит от ориентации электрического поля: если в (1.) поле F параллельно грани, то вместо линейной зависимости (32) имеем ступенчатую (31), а если в (2.) поле параллельно грани, то квадратичная зависимость (33) переходит в линейную (32).



6.2 Трехмерная решетка: е = б\ +£2 + £3, = Рг2, используя эффективные сферические координаты р1 = р cos 1?, р2 = р sin 1? cos tp} р3 = р sin 1? sin ip имеем

dv = / dvidv2dv3 = /з1/з2/З3Ф3 (e) cfe (34)

Далеко от порога e 3> e iL;

Фз (e) = ftv - e 1E A lel > ~ A ~ (1 Ю) тг (35)

Вблизи порога e e F{L{

(1.)если порог на грани, перпендикулярной г-оси

Фз (е) = Pj£3/2 (е| , & ~ тг (36)

при Fi -У 0 вместо (36) имеем корневую зависимость (35) (2.)если порог на ребре, параллельном оси i = 3 , то

Фз (е) = Д.е5/2 П (И Ь,)1 , Д. ~ тг (37)

8 = 1

при этом, если одна компонента -У 0, то имеем (36), а если обе, то - (35), (З.)если порог в углу зоны, то

Фз (е) = he72 П OI ЫгУ1 , & ~ (38)

8 = 1

аналогично предыдущим случаям, при повороте поля с выключением его компонент, особенность ослабляется с последовательным переходом к (37), (36) или (35).

Таким образом, в слабом электрическом поле характер пороговых особенностей электронного спектра не слишком длинной решетки eFL <с eFX < ае сильно изменяется в зависимости от положения дна или потолка энергетической зоны в зоне Бриллюэна и от ориентации электрического поля относительно кристаллографических осей. Этот эффект можно проверить в оптических [4] и фотоэмиссионных [5] экспериментах.

7 Заключение.

Таким образом, показано, что при включени слабого поля с длиной изменения порядка длины кристалла, состояния блоховских электронов у экстремумов зон преобразуются в своеобразные поверхностные состояния. Их спектральное уравнение, длина локализации и форма огибающей волновых функций похожи на характерные для таммовских состояний.



На примере модели с прямоугольными барьерами в квазиклассическом приближении проанализирован коллапс пространства квазиимпульсов и перестройка спектра.

Для случая постоянного электрического поля найдена плотность состояний у порогов зон. Показано, как поле изменяет характер Ван-Хововских особенностей в зависимости от ориентации при разных размерностях решетки.

Список литературы

Peisakhovich Y.G., J.Phys.A: Mat. and Gen.,32,3133(1999) Тамм И.E., Z.Phys,76,849(1932)

Дэвисон С. Левин Дж. Поверхностные (таммовские) состояния М.,Мир,(1973)

Басе Ф.Г.,Булгаков А.А.,Тетервов А.П., Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешетками.М.,Наука (1989) Wannier G.H., Phys.Rev.,181,1364 (1969) Zak J., J.Phys: Cond.Matt.,8,8295(1996)

Набутовский В.М.,Пейсахович Ю.Г., ЖЭТФ,68,164(1975)

Набутовский В.М.,Пейсахович Ю.Г., ЖЭТФ,70,1081(1976)

Боровик Е.С., ДАН СССР,91,771(1953)

Шабанский В.П., ЖЭТФ,27,147(1954) Каганов М.М.,Песчанский В.Г., ЖЭТФ,33,1261(1957)

Конуэлл Э., Кинетические свойства полупроводников в сильных электрических полях.М.,Мир (1970)

Пейсахович Ю.Г.(след. статья)

Peisakhovich Y.G., J.Phys.A: Mat. and Gen.,29,5103(1996)

Якубович Я.А.,Старжинский В.М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами.,М.,Наука( 1972)

Пашковский С.Вычислительные применения многочленов и рядов Чебыше-ва.М.,Наука(1983)

Лифшиц И.М.,Азбель М.Я.,Каганов М.И., Электронная теория металлов. М.,Наука (1971)

Займан Дж.,Принципы теории твердого тела.М.,Мир(1974) Флюгге 3.,Задачи по квантовой механике.т.1,М.,Мир(1974)