Квантование конформных и аффинных систем Тоды

Зуевский А.Б.

Факультет Теоретической Математики, Вайцмановский Институт Науки, Реховот, 76100, Израиль

1 Введение

Двумерные интегрируемые теории поля привлекали в последние десятилетия большое внимание исследователей - не только специалистов в этой области, математиков, но и физиков, работающих в других областях [1-9]. Интерес к этим теориям возникает со многих точек зрения. Подобные системы являются важным средством в понимании основных непертурбативных аспектов физических теорий. Несмотря на то, что размерность пространства, на котором вводится большинство интегрируемых систем, заведомо менее четырех, можно рассматривать интегрируемые теории как лабораторию по разработке новых методов и по проверке предположений, которые применимы в других областях физики. При этом многие явления выглядят значительно проще. В некоторых случаях, интегрируемые системы выступают в роли реалистических моделей явлений физики конденсированных состояний [10], статистической физики [11], общей теории относительности [12], решеточных теорий поля [13] и физики высоких энергий [6,14,15]. Интегрируемые модели неожиданно проявились также в описании зависимости констант связи низкоэнергетических действий суперсимметрических теорий Янга-Миллса в четырехмерии. Двумерность интегрируемых теорий естественна также с точки зрения теории струн [7,8].

Важность двумерных интегрируемых систем заключается также в том, что как в классической, так и в квантовой областях они представляют собой красивые примеры теорий, имеющих богатую алгебраическую структуру. Именно в двумерии особенно явно проявляется алгебраический характер интегрируемости и происхождения специальных, в частности солитонных, решений [16]. Однако, как было показано в [17], можно построить многомерные обобщения точно интегрируемых систем. Кроме того, на примере двумерных интегрируемых систем можно развить некоторый алгебраический аппарат, состоящий из специальных объектов классической и квантовой теорий поля, для того, чтобы проще и нагляднее описать структуру теории и ей наблюдаемые. Различные специальные (в частности, солитонные и инстантонные) решения двумерных теорий возникают в моделях квантовой теории поля [1, 18].

Исследование алгбраических основ классических и квантовых двумерных точно интегрируемых систем приводит также к интересным результатам как в теории классических

(бесконечномерных) алгебр и групп Ли, так и в теории q-деформированных структур. В частности, [19], некоторые отдельные главы теории алгебр Каца-Муди были разработаны под влиянием конкретных примеров солитонных систем уравнений. Алгебраические конструкции, используемые в теории классических интегрируемых систем нашли применение в различных разделах современной математики.

В квантовом случае ситуация в некотором смысле аналогична. Вопросы построения и решения квантовых интегрируемых систем приводят к интересным темам в структурной теории деформированных универсальных обертывающих алгебр Ли [20-22]. Кроме того, некоторые объекты квантовых групп могут быть построены на основе специальных конструкций, возникающих в квантовых интегрируемых системах. Отдельным, не до конца ясным вопросом, например, остается вопрос о выделении главной гейзенберговой подалгебры квантованной универсальной обертывающей Uq(g) аффинной алгебры Ли д. Существует возможность это сделать, вводя специальные операторы градуировки. Главная квантовая гейзенбергова подалгебра обязана играть особенно важную роль не только в теории квантовых аффинных систем Тоды, квантовых статистических моделях, но и в других областях теоретической физики.

Можно было бы выделить также задачу отыскания квантово-групповой структуры некоторых объектов квантовых двумерных теорий, которые могли бы соответствовать специальным решениям (солитонным или инстантонным) в классической теории [9]. Это вызывает особый интерес, поскольку солитоны можно, до некоторой степени, интерпе-тировать как частицы теории. Прояснение вопроса о том, что можно неформально называть квантовым солитоном, помогло бы понять реальную динамику моделей, содержащих солитонные решения.

На примере конформных, конформных и аффинных систем уравнений Тоды в классической и квантовой областях [1-4,16,23-31] мы исследуем наиболее важные свойства двумерных точно интегрируемых систем, применяя методы теории деформированных универсальных обертывающих алгебр Ли. Классические конформные и аффинные системы Тоды относительно просты в смысле их построения и интегрирования. Не смотря на то, что большая работа была проделана в этой области, множество вопросов остаются открытыми и интерес к системам Тоды не потерян. Системы Тоды имеют приложения во многих разделах математики, в частности, в алгебраической геометрии [2,32]. На примере этих теорий, можно проследить проявления алгебраических структур в двумерных точно интегрируемых системах. Особое внимание к аффинным системам Тоды вызван существованием солитонных решений и их алгебраической интерпретацией.

В пионерской работе [16] общее решение классических аффинных систем Тоды было построено на основе теоретико-группового метода [1]. Из общего решения можно выделить солитонные решения. Построение основано на существовании главной (однородной) гейзенберговой подалгебры соответствующей аффинной алгебры Ли д.

Конкретные примеры классических и квантовых конформных и аффинных систем Тоды интересны как с алгебраической точки зрения так и в смысле приложений в теоретической физике. Среди аффинных систем Тоды случай уравнения sin-Гордон, который соответствует аффинной алгебре Ли si1} является наиболее разработанным. Это

уравнение интересно со многих точек зрения и возникает в теории конденсированного состояния [10], нелинейной оптике [6], космологии и общей теории относительности [33], а также в дифференциальной геометрии и других областях современной математики [3,4,6,15,34].

Квантовые конформные или аффинные теории поля Тоды на компактном (цилиндр) или некомпактном пространстве (двумерная плоскость) могут быть введены различными способами [23,24,27,36-49]. В данной работе мы будем касаться только случая некомпактного пространства. Основным из подходов к квантованию является формализм светового конуса [46,47]. Возможны также и пертурбативные вычисления [44], совпадающие с квантово-групповыми [45].

Общая идея, реализуемая в работе состоит в том, чтобы, по аналогии с достаточно проработанным теоретико-групповым (алгебраическим) подходом к классическим точно интегрируемым системам, развить общий квантово-групповой подход к квантовым аналогам точно интегрируемых систем. Мы рассматриваем только двумерные системы, но, в перспективе, подобный подход может быть примемен и к многомерным системам. Новый метод разрабатывается на примерах квантовых конформных и аффинных систем Тоды. Прежде всего нужно определиться с методами квантования таких систем. При этом необходимо сформулировать способ построения квантовых уравнений, способ отыскания общих (и классов специальных частных) решений, проработать вопросы обоснования, а также алгебраические аспекты построения данных теорий.

В этом направлении, базой для исследований могут быть некие q-деформированные алгебраические структуры, например квантованные универсальные обертывающие [22,52,54], янгианы [53], квантовые дубли, квантовые алгебры. Как показывает практика, в квантовой области уже недостаточно классических алгебраических (групповых) структур, скажем, алгебр Каца-Муди, для того, чтобы корректно построить теорию. В случае квантовых конформных и аффинных систем Тоды, естественной идей (подтверждаемой некоторыми предварительными результатами [44,45]) было бы рассмотрение квантовых групп в качестве алгебраических структур, лежащих в основе теоретико-группового подхода. Подобные идеи появились достаточно давно, но не получили развития и не подвергались соответствующей проработке.

2 Системы Тоды в классической области

В этом разделе мы напомним, как на основе алгебр Ли строятся конформные и аффинные абелевы системы Тоды, а также выпишем общие решения этих систем.

2.1 Конформные системы Тоды

Пусть АЛ - двумерное многообразие (R2 или С1) со стандартным координатами z±; в случае С1 мы полагаем, что z~ = (z+)*. Пусть G - комплексная простая группа Ли ранга г с алгеброй Ли д, снабженной главной градуировкой. В разложении g = (BmezQm

подпространство g0 - абелево. Обозначим Go и G± подгруппы, соответствующие алгебрам д0 и ®m>ig±m- Обозначим при помощи hi и ж±г- картановские и генераторы Шевалле алгебры д, например, в главной градуировке, которые принадлежат градуировочным подпространствам д0 и д±15 удовлетворяющие определяющим соотношениям

[hi,hj] = о,

[hi,x±j] = ±к1гх±1, (2.1)

[+г? - j\ ijhi

1 г? гДе ~~ матрица Картана алгебры д. Имеют место также соотношения Серра [22].

Поля конформной абелевой системы Тоды

</> = (2.2)

8 = 1

удовлетворяют уравнениям

НтЕга' = 0 (2-3)

где ог-, г = 1, ...,г, - простые корни алгебры д, гаг- - отметки на диаграмме Дынкина [22], (3 - некоторая константа связи, а ц - константа обратной длинны (inverse length scale factor). Уравнения (2.3) возникают из условия нулевой кривизны на компоненты плоской связности, построенные на основе элементов алгебры Ли д в главной градуировке. Общее решение уравнений (2.3) было найдено А. Лезновым и М. Савельевым в известной работе [29]. Голоморфно факторизуемая форма общего решения дается выражением

е

-pXi-ф

--< A87+V+V-7-A8 >, (2.4)

гДе ry±(z±) -М. -> Go и l-i±(z±) : Ai -> G± - голоморфные и антиголоморфные отображения из многообразия Ai в подгруппы Go и С7±, соответственно. Далее, аг- >, г = 1,...,г, - старшие векторы г-х фундаментальных представлений алгебры д, соответствующие фундаментальным весам аг- [22]. Отображения /-i±(z±) удовлетворяют условиям

д±Ц± = Ц±к±. (2.5)

Здесь к± реализуют отображения Ai -У д±х:

±(±) = ±??5 ф0±г.ж±г, (2.6)

г = 1

Ф°,. = е>- \ (2.7)

где ф°±] - свободные поля. Заметим, что (2.6) может быть переписано следующим обра-

зом

± /7f Д±17±\ (2-8)

K±[Z~

где

E±i = 2 V * ж±г, (2.9)

8 = 1

а отображения 7± выбираются в виде

7± = е -1 . (2.10)

Для того, чтобы из общего решения (2.4) получить параметрические решения, в частности, инстантоны, вполне достаточно взять скрининговые функции в сле-

дующей форме, [15]:

4г(,±) = с±г(,±Г, (2.11)

где c±i - некоторые константы. В подобном выборе функций ф^ можно увидеть некоторую связь, существующую между солитонными решениями аффинных систем и ин-стантонными решениями конформных систем Тоды.

2.2 Аффинные системы Тоды

В этом разделе мы рассмотрим аффинные абелевы системы Тоды. Как и в случае конформных систем, АЛ - двумерное многообразие (R2 или С1 со стандартными координатами z± = t ± х и производными д±; в случае С1 мы подразумеваем, что z~ = (z+)*). Пусть g - аффинная алгебра Ли, снабженная Z-градуровкой, a G - соответствующая бесконечномерная группа Ли. В главной градуировке, в разложении g = (BmezQmi подпространство g0 - абелево.

Поля аффинной системы Тоды ф = {ф{ (как и в предыдущем разделе, hi - обоз-

8 = 1

начают элементы Картана алгебры д) удовлетворяют уравнениям

(Х>.3°* - ЗМ) = 0. (2-12)

где ctj-, i = 1, ...,r, - простые корни алгебры д, ф = -а0 - старший корень и -р- = гаг-%

8 = 1

определяет гаг-. Здесь, как обычно, ц обозначает вещественную величину - константу обратной длинны, а (3 - (комплексную) константу связи. Уравнения (2.12) возникают из условия нулевой кривизны на пары операторов Лакса, связанных с алгеброй Ли д в главной градуировке.

Сделаем некоторое замечание относительно константы связи (3. В зависимости от ей вещественности (комплексности), мы получаем различные теории (как классическом, так и в квантовом случае). Интересно отметить, что уравнения аффинной системы Тоды

с чисто комплексным fi (fi £ С \ R) обладают солитонными решениями, в то время, как при fi £ С П R такие решения отсутствуют, (этот факт наиболее просто видеть в случае моделей sin-Годон и sh-Гордон, которые отвечают алгебре slz). Коэффициенты в уравнении (2.12) подобраны таким образом, что ф = 0 является решением. Формальное общее решение уравнений (2.12) было найдено работе [16]

- 7 I -f / j- /---/ Г J

< A07+V;V-7-lo >mi

гДе 1 < J < r, Aj > - старшие векторы j-x фундаментальных представлений алгебры g, соответствующие фундаментальным весам Aj, a raj - отметки на диаграмме Дынкина. Голоморфные и антиголоморфные ry±(z±) : Ai -У С70 и fi±(z±) : Л'! - G± отображают точки многобразия Ai в подгруппы Go и С7± бесконечномерной группы G. Общая теория бесконечномерных алгебр Ли дана в [19,22]. Уравнение sin-Гордон

3+д.ф + % (Це - е-мА = 0, (2.14)

- частный случай аффинных систем Тоды, связанный с алгеброй Ли g = siz как в главной, так и в однородной градуировках. В обеих градуировках общее решение системы (2.14) имеет одну и ту же форму (2.13), но подразумевается, что групповые элементы являются некоторыми экспонентами элементов алгебры Ли в соответствующей градуировке. Подалгебру Картана алгебры g удобно расширить элементом дифференцирования d.

Отображения /-i±(z±) удовлетворяют условиям

д±Ц± = Ц±к±, (2.15)

где

K±(z±)

8 = 0

(ж±г-, г = 0,..., г, - генераторы Шевалле алгебры д).

ф°±г = е h (2.17)

здесь ф±1 - свободные поля, а (2.16) может быть также представлено в виде

= ±r]1fE±ll±\ (2.18)

£±i = J V №8- (2.19)

Отображения ry±(z±) : Л4 -У Go в (2.13) имеют вид

-Р Е Ф±,

7± = е -о . (2.20)

Заметим, что, в отличие от конечномерного (в смысле размерности соответствующей алгебры Ли) случая, общее решение (2.13) имеет довольно сложную структуру. В частности, оно может быть представлено в виде бесконечного абсолютно сходящегося ряда.

3 Квантовая область

Квантование конформных и аффинных систем Тоды имеет относительно давнюю историю [27,42-48]. Этот вопрос особенно интересен с точки зрения построения и возможных интерпретаций (как частиц теорий) квантовых аналогов специальных решений - инстантонов (в случае конформных систем) и солитонов (в случае аффинных систем уравнений Тоды).

Однако, несмотря на многочисленные публикации на эту тему, и в настоящее время исследования в этой области не потеряли своей актуальности. Существует несколько неэквивалентных способов провести квантование конформных и аффинных моделей Тоды. Прежде всего, метод существенно зависит от пространства, на котором рассматривается данная теория. Различия в построении квантовых решений для компактного (цилиндр) и некомпактного (двумерная плоскость) случаев возникают, как и в классике, в результате различной постановки задач математической физики. В компактном случае задаются периодические граничные условия, в то время как в некомпактном - граничные условия на характеристиках. Таким образом, возникают некоторые квантовые аналоги задач Коши и Гурса. Квантование конформных систем Тоды в компактном случае было проведено в работах [23,40], а в некомпактном случае - в работах [46,47]. В настоящей работе рассматривается только некомпактный случай.

В последующих разделах мы вспомним методы квантования систем Тоды, которые были применены ранее к конформным системам уравнений Тоды: формализм квантования светового конуса [46,47], пертурбативную процедуру Янга-Фельдмана [44], а также подход с использованием квантовых групп [45]. Далее, в разделе 6, мы сформулируем Предложения 1 та 2 (развивающие квантово-групповой метод [45]) о решениях квантовых уравнений конформных и аффинных систем Тоды, построенных на базе обобщения теоретико-группового метода [1] с использованием теории квантованных универсальных обертывающих алгебр Ли. Затем мы применим три указанных подхода к построению решений квантовых систем уравнений Тоды для оператора гейзенбергова поля для некоторой аффинной алгебры Ли д. Наш главный пример - случай аффинной алгебры д = si1} которому соответствуют хорошо известные уравнения sin-Гордон и sh-Гордон. В подразделе 6.4 мы проведем сравнение результатов и продемонстрируем связи между вышеперечисленными подходами.

Процесс квантования подобных систем можно кратко сформулировать следующим образом. Вводятся гейзенберговы операторы полей, удовлетворяющие каноническим

коммутационным соотношениям (4.2). Определяется нормальное упорядочение по отношению к генераторам рождения-уничтожения (4.5) - (4.6). Далее, вводятся квантовые аналоги классических систем уравнений (в соответствие с некоторым классическим пределом), которым должны удовлетворять введенные гейзенберговы операторы, после чего строятся решения этих уравнений при помощи пертурбативных или квантово- групповых методов. Далее мы будем рассматривать только абелевы системы Тоды поскольку подходы к квантованию неабелевых систем не разработаны в полной мере (см., однако, [70]).

4 Квантование в световом конусе

Наиболее удобным способом квантования конформных и аффинных систем Тоды в случае некомпактного пространства (плоскости) является формализм светового конуса, который был применен в работах [47,48]. В данном разделе мы напомним квантование конформных систем уравнений Тоды в этом формализме и покажем, как провести квантование аффинных систем уравнений Тоды.

4.1 Конформные системы Тоды

Способ построения решений для квантового гейзенбергового поля в этом подходе [46- 48] напоминает теоретико-групповой подход Лезнова-Савельева в классике [1,29]. В наших обозначениях z = t ± ж, и д± = д| . При этом

I± = {z± = t,z*>t}, (4.1)

- ветви светового конуса 1Т = {ж = 0, t = т}.

Введем набор скалярных полей i = 1,...,г, удовлетворяющих каноническим коммутационным соотношениям на световом конусе

[с/ф+ ,z-)j(z+ ,z~)] = -iHStJe(z+ -z+),

&(z+,z )j(z+,z )] = --iHStJe(z

фг{г+,г ),фг(г+,г )] = о,

/ ,- - , (4-2)

где (z+ - z+)(z - z ) < 0, (e(z) - стандартная знаковая функция). Определим Лоренц-инвариантные скалярные произведения

ж ж = t2 - х2 = z+z~. (4-3)

Для произвольной массы га и светового конуса 1Т введем

р р = т2 = со2(р) - р2, (4-4)

1+ I-

где ad±b = a(d±b) - (d±a)b. Коммутаторы операторов аг(р) и aj(g) имеют вид

щ(р), а](р) = 4тгhu(p)6ij6(p - q),

[at{p),aJ(q)] = 0. Определим вакуум теории 0 > как

at(p)\0 >= 0,

(4.5)

(4.6)

(4.7)

для любых г, р и построим фоковское пространство Т(1Т) действием операторов рождения а\(р) на вакуумное состояние 0 >. Обращая выражение (4.5), можно выразить ф^ на 1Т следующим образом

фг = ф+г + ф-i,

Ф+г = Ф^

%1 + оо

(4.8)

Ф

-и

аг{р)е

р-х

Произведения полей на 1Т нормально упорядочены перестановкой ф+{ направо по отношению к ф-i, обеспечивая конечное действие на фоковском пространстве Т(1Т). Двоеточиями будем обозначать такое нормальное упорядочение. Из (4.6) и (4.8) получаем

[Ф+х(х),ф-х(у)\ = 6фА(х-у), где ж, у G 1Т. Здесь в правой части имеем

-гр-х

(4.9)

(4.10)

Далее вводим

Ф

аг(р)е~

р-х

(4.11)

что дает регуляризацию коммутатора (4.9)

А

г eg I

аг(р)е р':

(4.12)

с некоторыми р\ и р2. Введем обозначения:

Фг = ]Гмг^, (4.13)

3 = 1

где

/ (4.14)

г,j = 1,...,г, (в этом подразделе мы рассматриваем только алгебры Ли g с симметрическими матрицами Картана). Выражение

т-г : е№ :, (4.15)

не зависит от массы т и может быть взято в качестве квантового аналога экспоненты оператора поля [46]. Введем теперь квантовые аналоги систем уравнений Тоды, связанные с алгеброй Ли д, которым должен удовлетворять оператор гейзенбергова поля Фг

г

<9+<9 (/?Фг) + a2 a е№ := 0. (4.16)

3 = 1

Здесь а = j3 - константа связи, а а - некоторая константа. Уравнение (4.16)

может быть переписано в форме условия нулевой кривизны для квантового варианта связности

[д++и+}д-+и ] =0, (4.17)

(квантовых аналогов операторов Лакса), содержащих как гейзенберговы операторы полей ф{} так и генераторы ж±г-, hi, i = 1, ...,г, алгебры Ли g (по аналогии с классическим случаем):

г

ш+ = д+ф h + а x+i + сО,

(4.18)

8 = 1

- / ,

8 = 1

где

ы = -аа : е^Фг : ж

8 = 1

О = ЫЩ1, (4.19)

il>-h = il>ihi, (4.20)

г = 1

г