Разделы
Главная Сапромат Моделирование Взаимодействие Методы Инновации Индукция Исследования Факторизация Частоты
Популярное
Как составляется проект слаботочных сетей? Как защитить объект? Слаботочные системы в проекте «Умный дом» Какой дом надежнее: каркасный или брусовой? Как правильно создавать слаботочные системы? Что такое энергоэффективные дома?
Главная »  Частота 

1 2

Частота нелинейных ленгмюровских волн

Г. Н. Кичигин (king@iszf.irk.ru)

Институт солнечно-земной физики СО РАН 1. Введение

Свойства плазменных волн бесконечно малой амплитуды - линейных волн - достаточно хорошо изучены [1,2]. В последнее время особенно интенсивно изучаются плазменные волны большой амплитуды. Это в основном связано с развитием новых ускорительных методов, базирующихся на использовании для ускорения частиц огромных электрических полей, существующих в продольных плазменных волнах. Плазменные волны большой амплитуды формируются в плотной плазме за счет воздействия на нее либо ультрарелятивистских пучков частиц, либо мощного лазерного излучения, либо в процессе трансформации в плазменную волну сильных электромагнитных волн, падающих на неоднородную плазму.

Впервые основополагающие результаты при исследовании нелинейных волн в плазме были получены А.И. Ахиезером и др. в работах [3-5], где рассматривались плоские волны в безграничной плазме, состоящей из электронов, которые считались холодными, и ионов, которые предполагались бесконечно тяжелыми и неподвижными. Позднее аналогичные результаты для продольных плазменных волн были получены в работе [6]. Из работ [3-6] следовало, что частота установившихся продольных плазменных волн а с увеличением

- 1/2

фазовой скорости волны u = а/ k падает как у , где k - волновое число, у = (1 - в 2 )-1/2, в = u/c, c - скорость света в вакууме.

В последнее время выяснилось, что предположение о неподвижности ионов при описании нелинейных волн со сверхбольшими амплитудами вызывает сомнение. Действительно, из работ, посвященных релятивистским волнам в плазме [7-12], а также из исследований, связанных с взаимодействием лазерного излучения с плазмой [13-14], стало ясно, что при достаточно больших амплитудах электрического поля в релятивистских волнах необходимо учитывать движение ионной компоненты плазмы. Как оказалось, учет движения ионной компоненты при изучении нелинейных плазменных волн приводит к более сложной зависимости частоты волн от скорости, чем та, которая получена в ранних работах [3-6].

В данной работе детально исследована зависимость частоты установившихся нелинейных продольных плазменных волн от параметров е, u и ц, где е - безразмерный параметр, связанный с амплитудой электрического поля в волне, u - фазовая скорость волны,

ц = AM/(Zm)-параметр, в который входят величины: m и M - массы покоя электрона и протона, соответственно, A и Z - атомное и зарядовое числа иона. В результате проведенных исследований получены аналитические выражения для частоты как функции приведенных параметров задачи.

Статья организована следующим образом. В п. 2 излагается постановка задачи и выводятся основные уравнения, в п. 3 найдены формулы для частоты волн в разных предельных случаях. Основные выводы представлены в п. 4.



2. Постановка задачи и основные уравнения

В данной работе мы будем рассматривать установившиеся периодические волны, которые будем характеризовать следующими параметрами: длина волны - Л = 2n/k, период колебаний волны - T = 2п/С, фазовая скорость волны - и = Л/T = С / k, где СО - частота волны. Наша задача заключается в нахождении зависимости

величины частоты волн С от параметров плазмы, а также от скорости и амплитуды волн. Заметим, что все вышеприведенные характеристики волн мы привели в системе отсчета, в которой невозмущенная плазма покоится. Назовем ее лабораторной системой отсчета (ЛСО). Мы же в дальнейшем все наше рассмотрение будем вести в системе отсчета волны (СОВ), в которой более понятны физические процессы, происходящие в установившейся волне. В системе волны плазма имеет концентрацию n= n0/ у и, как целое, движется относительно неподвижного профиля волны со скоростью и, при этом пространственный период волны Л = уЛ.

При выполнении условия vf >> vTe можно считать плазму холодной, что мы и будем предполагать в дальнейшем. Рассматривая одномерный случай, предположим, что волна распространяется в направлении, противоположном оси x. Отметим, что наша постановка задачи практически ничем не отличается от постановки, используемой в классических работах [3-5], за исключением того, что мы считаем массу ионов конечной и учитываем движение ионов в волне.

В системе отсчета волны, в которой решаемая нами задача является стационарной, все искомые переменные в рассматриваемом случае являются функцией только координаты x. Уравнения, необходимые для решения поставленной задачи - это уравнения Максвелла, релятивистские уравнения движения и уравнения непрерывности для электронов и ионов. Будем искать решение этих уравнений в виде периодической знакопеременной волны потенциала.

В этом случае на масштабе, равном длине волны Л, в точках, лежащих между максимумом и минимумом потенциала, электрическое поле будет иметь экстремальные значения. Из уравнения Максвелла для электрического поля E(x) dE(x)

= 4ne [(Zni(x) - ne(x)] (2)

тогда следует, что в этих точках правая часть уравнения (2) будет равна нулю. Пусть координата одной из экстремальных точек x = 0, тогда в этой точке Zni(0) = ne(0) = n, E(0) = E0, где мы экстремальное значение электрического поля обозначили через E0. Без ограничения общности, в экстремальных точках положим равным нулю

потенциал волны р (x), тогда р (0) = 0.

Из уравнений непрерывности для электронов и ионов d d

- [ne(x)Ve(x)] = 0, - [m(x)Vi(x)] = 0

dx dx

следует, что ni(x) vi(x) = C1 и ne(x) ve(x) = C2, где ve(x), vi(x) - скорости электронов и ионов, соответственно, C1, C2 - константы, не зависящие от x. Эти константы найдем, полагая x = 0. В результате получим

C1 = nvi(0)/Z, C2 = nve(0), где ve(0) и vi(0) - постоянные скорости. Далее будем считать, что ve(0) = vi(0) = и, где и - скорость волны [12]. Тогда полный ток во всех точках на профиле волны будет равен нулю:

e [Zni(x)vi(x) - ne(x)ve(x)] = 0, а это означает, что в рассматриваемой волне отсутствует возмущенное магнитное поле. Обратим внимание на то, что предположение об отсутствии тока в волне используется во всех работах, посвященных нелинейным плазменным волнам [1- 6, 10-12].

Для холодной плазмы в отсутствие магнитного поля динамику движения



электронов и ионов в электрическом поле волны можно рассматривать в одночастичном приближении с помощью релятивистских уравнений движения, которые в системе отсчета волны имеют вид:

( ) dpe(x) 2 dj e(x) E( ) (3)

Ve(x) -- = m c -- = - e E(x), (3)

dx dx

dp.(x) 2 dy t(x)

Vi(x) = A-Mc2 -J-fz = Z e E(x), (4)

dx dx

здесь Ye (x) = [1 - Ve(x)/c] )-1/2, Jt (x) = [1 - U;(x)/c] )-1/2 . Переменные

pe(x) = mve(x)ye(x), pt(x) = AMut(x)yt(x) - импульсы электронов и ионов, соответственно.

Подставляя в (3)- (4) соотношение E(x) = - d<p(x)/dx, связывающее электрическое поле с потенциалом, получим законы сохранения энергии для ионов и электронов в следующем виде:

AM с2 Ji(x) + Z e(p(x) = A M с2 J, (5)

m с2 ye(x) - e(p(x) = m c2 J. (6)

Константы в (5)-(6) мы нашли, определяя значения энергии и потенциала в точке x = 0, в которой мы приняли: ((0)=0, ve(0) = vi(0) = u.

С помощью уравнений (2-4) можно получить соотношение:

d {E2(x) /(8л) - n u [pe(x) + p,(x)/Z] } = 0, dx

из которого получим еще один закон сохранения:

E2(x) /(8л) -n u [pe(x) + p(x)/Z] = E02/(8n) - n y(AM/Z + m) u2. (7) Здесь E0= E(0) и константу мы определили при x = 0.

Система уравнений (2)-(7) позволяет позволяет найти зависимость всех переменных от x и, таким образом, достаточна для решения поставленной задачи.

Отметим, что с полученным параметром y рассматриваемая нами задача имеет физический смысл только при значениях величины скорости u, не превышающих скорости света.

Найдем с помощью выведенных нами формул выражение для частоты колебаний волны. Введем безразмерные переменные для координаты £, = xapwJe /c

и потенциала ЦК<) = e((x)/(mc2), где 0)pw = (4%e2n/m)l/2 - электронная плазменная частота в системе волны. Если выразить импульсы электронов и ионов через потенциал, что возможно сделать с помощью уравнений (5) и (6), тогда в безразмерных переменных уравнение (7) можно записать в виде:

Г(ЩГ) =£ - (dlK£,)/dZ,)2/2 =

= Pfuy -V(НУ-¥)2-И2 + ву - 4(У + ¥)2 -1 , (8)

где переменная у/ является функцией : ц/= [ (£,), параметры ju, в, у определены

выше, параметр 2/( 8nnmcu) - это значение безразмерной

плотности энергии электрического поля в точке £, = 0, в которой у = 0 и электрическое поле максимально. Формулу (8) для величины У(ц/,у,) можно



представить также в другом виде: ¥(щГ,и)=вМГ{1

1 -i2+e}+em-

Р yju Р у JU \

1 + (9)

Обсудим вопрос о тех значениях, которые может принимать параметр JU = (A/Z)(M/m), входящий в формулы (8)-(9). Нетрудно видеть, что величина параметра

U зависит в основном от сорта ионов плазмы и в наиболее типичных случаях она

велика: jU >> 1. Так, например, в электрон-протонной плазме, где A/Z = 1, параметр

jU = M/m = 1838. Для плазмы, состоящей из ионов, более тяжелых, чем протоны,

отношение A/Z > 2 и величина JU еще больше. Учитывая все это, мы везде ниже будем считать, что параметр /л >> 1, и введем обозначение для малой величины в = 1/л (в << 1).

Для нахождения частоты волны в ЛСО воспользуемся формулой С =2пиу/Л w. Здесь Л - пространственный период колебаний потенциала в системе волны:

Д. + d. I -

где , .+ - корни уравнения S - V(. у,/л) = 0, а V(. у,[л) определяется формулами либо (8), либо (9). Отсюда получим для величины С соотношение

с= с (£у и ) = ср0 %42(Ру)ъ32/J (£уи ), (10)

где Сро = (4ne2n0 /m)12, n0 - концентрация плазмы в ЛСО,

J(SM = j , d. . (11)

Формулы (10-11) в самом общем виде определяют искомую частоту колебаний продольной плазменной волны. Видно, что С зависит, во-первых, от

характеристик волны: фазовой скорости и (параметр у ) и амплитуды

электрического поля E0 (параметр S), во-вторых, от параметров плазмы: массы и заряда частиц плазмы, контролируемых параметром /л, и концентрации n0 . Зависимость частоты от концентрации тривиальна, поэтому мы ей интересоваться не

будем, а рассмотрим, как это отображено в формуле (10), зависимость С = С (S,y /л

Ниже мы найдем аналитические выражения для частоты волн

С = С (S,y,/) в разных предельных случаях. Для того, чтобы найти с, необходимо вычислить интеграл (11), для чего, в свою очередь, требуется определить пределы

интегрирования , а также досконально знать свойства подинтегрального

выражения, которое в основном определяется функцией V(. у /л). Проанализируем

коротко свойства функции V( . у, /л), а затем найдем величины , .+ .

Из аналитического выражения (8) для рассматриваемой функции V(., нетрудно видеть, что она определена в ограниченной области значений переменной



у а именно на отрезке - (у- 1) < у < ju (у- 1). Введем обозначения для граничных

значений переменной у: у* = - (у- 1), у+* = и (у - 1). На этом отрезке график

функции К(у) имеет вид ямы [10,12]. Нетрудно видеть, что значение функции У(у)

в крайней точке отрезка, где у = у+*, всегда больше, чем в другой крайней точке, где

у= у *. Отсюда следует, что максимальная глубина ямы определяется значением у *, которое, с другой стороны, является максимальным значением отрицательного

размаха потенциала. Очевидно, что при заданном значении параметра & полный

размах колебаний потенциала определяется из (8) при условии У(у ,у,() = &

Таким образом, полагая У(у у, () = & и у= у *, из (8) можно найти предельную

величину параметра & и, следовательно, предельное значение амплитуды электрического поля в волне Eom, выше которого при заданных значениях

n0, у и ji существование нелинейных волн невозможно:

&m = Eom2/(8nnmcu) = ву + иву - 4и2в2у 2 + (у-1)(2 иу + у -1). Отсюда при j >> 1 получим

&m * {1+1/[2и(у+1)]}ву/(у+ 1). Из полученных для &m формул видно, что предельная амплитуда волн определяется

в основном параметром у, а зависимостью &m от параметра jl в первом приближении можно пренебречь и положить:

&m * ву/(у+ 1) = (у- 1)/ву= [(у- 1) /(у + 1)f2 (12)

Из (12) следует, что для нерелятивистских волн (в << 1, у* 1) &m ~в I 2, и,

следовательно, Eom2 = 4nnmu2 . Для релятивистских волн (у >> 1) параметр &m * 1, а Eom2 ~ 8nnmcu ~ 8nnmc2 = 8жynomc2.

При заданных значениях параметров и,у,& величину размаха колебаний потенциала получим из уравнения

виу -V(иу-у)2-и2 + ву - л1(у + у)2 -1 = &.

Отсюда можно получить искомые величины в общем виде, однако выражения для

них получаются весьма громоздкими. Полагая j >> 1 и отбрасывая малые величины, получим приближенные формулы для амплитуд отрицательного и положительного размаха колебаний потенциала в волне:

у *- виу2&/(и + 2ву&)Ц 1 + 2в 2[1/(ву&) + 2/и] - 1}, у+ * виу2&/(и + 2П&)ф+2в2[1/(ву&) + 2/и] + 1}.

Параметры & и у в эти формулы входят в комбинации у&. Как мы увидим ниже,



3. Определение зависимости С= СО(3,у,р).

эта комбинация является характерной для рассматриваемой нами задачи, поэтому введем для нее специальное обозначение p=yS. Учитывая (12), произведение параметров [3yS можно представить в виде: /уЗ & S (у - 1),

= (Eo /

Eom)2 - отношение квадрата амплитуды электрического поля (Eo )2 к квадрату предельно возможной амплитуды в волне (Eom)2. Очевидно, что S < 1.

Так как / < 1 и S < 1, то произведение параметров /Зу£ = /Зр, входящее в

формулы для и .+ , может быть много больше единицы только при у>> 1, в

частности, неравенство /р >>U возможно только при у >> JU Для

нерелятивистских волн (/ << 1, у& 1) всегда выполняется условие /р & S (у- 1) << 1.

Определим значение амплитуд при разных соотношениях между параметрами U, S и у. Начнем с особого случая:

I. р&/. Для нерелятивистских волн (Р<< 1, у&1) величина параметраS & / << 1, значитр << 1, а амплитуды потенциала

.+ &Р2/2 ( 2лГб + S), &-Р2/2 ( 2л[б - S). (13)

Для релятивистских волн (у >> 1, Р&1) в рассматриваемом нами случае величина

р & 1 и при любых значениях у получим:

.+ ~ ( - )&у (14)

II. /р >> Jl (р >> U). При выполнении этого неравенства получим

& - у, .+ & ju у Как и следует ожидать, в данном приближении значения и .+ близки к предельным значениям и .+*. Легко видеть, что и при /р & JU >> 1 значения амплитуд и .+ по порядку величины остаются сравнимыми с .

* и .+*.

III. Рр << JU. Здесь возможны два варианта:

1)р >> 1 , что означает у >> 1 (Р&1) и для амплитуд получим:

.+ &2Рур + Ру&2ур + у, & - Ру& - у

2)р << Р < 1. В этом случае рассмотрим две возможности:

a) у >> 1, Р& 1. При этом S<< 1 /у << 1,

.+& <J22p+ ур&ул/2р, -ул/2р + ур &- у^2~р (15)

b) у & 1, Р << 1. При этом S < Sm &Р/2 << 1. Это нерелятивистский случай, в котором справедливы формулы (13). Обратим внимание на то, что в

случаер << 1 при любом у параметр S << 1.



Перейдем теперь к отысканию аналитических выражений для частоты в различных предельных случаях. Как уже отмечалось, в отличие от работ [3-6], где ионы считались неподвижными, мы учитываем динамику ионов в волне. Согласно формулам (10)-(11), тот факт, что мы принимаем во внимание движение ионов в

волне, отражается в зависимости частоты волны от параметра U и именно эта зависимость будет у нас на первом плане. Сначала рассмотрим предельный случай

JU -►да. Затем рассмотрим волны в плазме, в которой значение параметра JU

конечно, но велико: U >> 1. Это наиболее типичный случай, если иметь в виду космическую плазму или плазму, созданную в лабораторных условиях.

3.1. Приближение неподвижных ионов (в = 1IJU = 0).

В этом приближении из (9) в пределе jU - да получим

Vo (.у) = Ру - л/(у + .)2 -1 + ./Р, (16)

где Voo (.у) = V(.у, да). Интеграл (11) с функцией Vo (.у) c помощью эйлеровой подстановки д/(у + .)2 - 1 = x2 -(у+ . можно привести к виду:

2Р г (x - x ) dx

.+ л I а

S-Voo(.,у) W(a2 -x2)(x2 -b2)

где

a2 =у(1+Р)(1 + Рр WР2P2 + 2РР ),

b2 =у(1+Р)(1 + Рр Р2P2 + 2Рр ). JOT выражается через полный эллиптический интеграл второго рода E(k):

Joo=(2Ру3/2Vу(1 -Р) aE(k),

где

k = [1- (1 + Рр -4Р2р2 + 2Рр )2]1/2.

Таким образом, частота в приближении неподвижных ионов представляется формулой

С(8у= Ср0 (я/2) (1 + Рр-л1Р2р2 + 2Рр )1/2/E(k), (17)

где величина Рр принимает значения от 0 до да.

Прежде, чем анализировать формулу (17), мы сделаем уточнение понятий нерелятивистское приближение или нерелятивистский случай , применяемых ниже. Оба эти понятия мы применяем для волн, движущихся с такими скоростями,

для которых параметры Р и у удовлетворяют неравенствам: Р<< 1, у> 1. Таким образом, трактовка нерелятивизма в нашем случае отличается от классической. Как известно, в классической физике, переходя к нерелятивизму, устремляют скорость

света к бесконечности, т.е. в классике Р= 0.

Перейдем к подробному анализу формулы (17). На первый взгляд, структура формулы (17) осложнена присутствием в ней эллиптического интеграла E(k), однако при более детальном рассмотрении видно, что влияние E(k) не так уж и

существенно. Действительно, при изменении величины Рр от 0 до да, т.е. при вариации модуля k от 0 до 1, величина эллиптического интеграла E(k) находится в



пределах от п/2 до 1, поэтому можно считать, что величина E(k) порядка единицы, а формулу (17) можно представить в виде

С (8) &Cpo (п/2)(1 + Pp-yjP2р2 + 2вр )1/2. (18)

Значение частоты, вычисленное по достаточно простой формуле (18), в самом

худшем случае лишь коэффициентом п/2 & 1.6 (т.е. с точностью & 60 %) отличается от точного значения (17).

Из формул (17)-(18) мы видим, что частота уменьшается как с ростом скорости, так и с ростом амплитуды волн. Для волн, распространяющихся с

нерелятивистскими скоростями (в << 1), величина вр << 1 и, полагая )- 1, из (17) получим

с (8в) - (1 - 3 в® - (1 - -3 в2 S). (19)

8 16

Как видим, частота в этом случае мало отличается от Cp0. При нарастании величины

вр от 0 до 1, т.е. при вр - 1, частота С остается близкой к Cp0 (например, при

вр = 1 С - 0.7Cp0). Так как вр - ё () - 1), то условие вр - 1 можно записать как

() - 1) - 1/ ё. Из последнего соотношения следует, что для волн с предельно

возможной амплитудой, т.е. при ё = 1, параметр ) - 2, если же ё << 1, то

возможен случай, когда ) >> 1. Отсюда следует интересный вывод: частота

плазменных волн близка к частоте линейных колебаний в плазме Cp0 не только для

волн, имеющих малую скорость (в << 1), но и для волн, движущихся с релятивистскими скоростями, но малой (по сравнению с предельной) амплитудой электрического поля. На самом деле этот вывод есть следствие того, что частота,

согласно (17), зависит от комбинации вр -$ ()- 1), т.е. фактически от произведения параметра, пропорционального амплитуде волны, на параметр, зависящий от скорости волны.

При дальнейшем увеличении величины вр, когда она становится больше единицы, величина эллиптического интеграла E(k) отличается от единицы уже

меньше, чем на 10% (так, при вр = 1 величина E(k) - 1.08), поэтому при вр > 1 вычисление частоты волн с хорошей точностью можно производить по формуле

(18). Для релятивистских волн () >> 1, в & 1) с величиной параметра )р >> 1, частота определяется выражением

С (8)))&Cp0 п / (22)8 ), (20)

при этом, если амплитуда волн отлична от нуля, а их скорость приближается к

скорости света (fi - 1, да), то частота волн стремится к нулю.

В заключение данного раздела отметим, что из (17), как и следует ожидать, имеем результаты, впервые полученные А.И.Ахиезером и др. в приближении бесконечно тяжелых ионов, для двух предельных случаев: 1) классическое

нерелятивистское приближение (в = 0) - частота в этом случае С = Cp0 [3]; 2)

релятивистские волны () >> 1, в& 1) с предельными амплитудами (8 & 1),

для которых частота С ()) & Cp0 п / (2у/2) ) [4, 5]. Как видим, в первом случае

частота не зависит ни от скорости, ни от амплитуды волны и определяется частотой линейных колебаний в плазме. Во втором случае частота монотонно уменьшается с



ростом скорости волн.

3.2. Наиболее типичный и распространенный случай Jl>>\.

Основная цель, стоящая перед нами в этом разделе, - выяснить зависимость частоты от параметра Jl, предполагая, что величина Jl конечна, но велика: Jl >> 1. Именно по той причине, что jU велико, интуитивно ясно, что в этом случае при

каких-то значениях параметров S и у должно работать приближение, не

учитывающее динамику ионов, рассмотренное нами выше. В самом деле, нетрудно показать, что это приближение годится при изучении волн, распространяющихся с

такими скоростями, для которых при любых Sвыполняется условие: у << Jl или

даже более мягкое условие у < jU. Действительно, при выполнении этих

неравенств пределы интегрирования в (11) в зависимости от величины у

определяются формулами (13) - (15). При этом для функции V(.у, /л),

определяемой выражением (9), слагаемые под корнем, содержащие параметр U, много меньше 1, поэтому, представляя этот корень в виде ряда и отбрасывая малые

члены, содержащие квадратичные и более высокие степени ., мы получим, что V(

.у, /) & Vo (.,у), где VOo (.,у) определяется соотношением (16), т.е. для частоты мы приходим к формуле (17), справедливой в приближении бесконечно тяжелых ионов.

Принимая во внимание эти соображения, мы вначале проанализируем поведение волн, движущихся с малыми, нерелятивистскими скоростями, а затем рассмотрим свойства волн, распространяющихся с релятивистскими и ультрарелятивистскими скоростями. При этом выясним, какой вклад в значение

частоты волн дает учет конечных значений U .

3.2.1. Нерелятивистский случай.

В грубом приближении для волн с малыми скоростями, т.е. при у& 1 << U заведомо можно применять результаты п.3.1. Однако мы попытаемся выяснить, как

меняется частота при учете конечного U, какова тенденция этого изменения. Учитывая, что в этом случае пределы интегрирования в интеграле (11) определяются формулами (13) и, следовательно, значения переменной . в подинтегральном

выражении (11) много меньше единицы, функцию V(.,у, л) представим в виде

V.J, в) = Ру - 4(у+¥)2 - 1 + .Р + в.2/(2Р3у3), (21) (в = 1 << 1). Далее, считая в (21) слагаемое с параметром в как малую добавку,

разложим интеграл (11) с функцией (21), который мы обозначим как J(S,у, в), в ряд Тейлора около точки в = 0, ограничивая сумму ряда членом, пропорциональным в:



J(8,y, в) = J(8) 0) + в [dJ(8,) в)/дв] в=0 . (22)

Первое слагаемое ряда (22) J(8,), 0) = Joo , а интеграл Joo мы нашли в п. 3.1. Далее, производную

д J (8,7,0) д 7 dy дй J

дйФ 8 - V (у.гй)

представим таким образом:

двФ 8 vWr,rfi)~ дйд8

W dV ( w,y,&)

d у

A [ f двГ ] = J 81

1 = f

+ у 2 dy здесь I = J .

W i8 Vx (у,))

Такое представление возможно благодаря двум обстоятельствам: 1) переменные в и

8независимы, 2) дифференцирование интеграла

у

по переменным в и 8 сводится к дифференцированию подинтегральной функции, так как эта функция на пределах интегрирования равна нулю.

Интеграл I, в котором функция Vm(у,)) определяется формулой (16), можно вычислить аналогично JOo. В результате получим

I = д/2в(1 + в) [(Y3 - Y-3]/4 - )(Y2 - Y-2) + ()2 + 1/4) (Y1 - Y-1)],

где

x 2ndx

ij(a2 - x 2)(x2 - b2)

Здесь использованы величины a и b, определенные в п.3.1. Интегралы Yn выражаются через полные эллиптические интегралы первого и второго рода, соответственно K(k) и E(k), где параметр kтот же, что и в п.3.1. Отбрасывая малые

члены, содержащие параметр в в степени больше двух, а параметр 8 - в степени больше единицы, получим для производной

[dJ(8,)e)/de]e=0 -

- 73/2Л/2в[E - K + 2в8 + (9E - K)в8 + 2(4E - K)в2 /3 + 8в2-/2в8E/3]

2в (1 + в8 / 2)1 + в8 + 4 2в8 Здесь мы опустили аргумент k у эллиптических интегралов K(k) и E(k). Далее,





1 2