Правило Парето и самоподобие в АВС-анализе

Ваньян П.Л., Поташев А.И. (apotashev@yandex.ru) ООО Полиметалл-М

Введение

В литературе по логистике традиционно популярно правило 20/80 , которое часто называют законом Парето (далее закон Парето). Смысл закона, восходящего к работам социолога Вильфредо Парето, состоит в констатации того факта, что за 80% результата отвечает 20% причин. Поскольку подавляющую долю эффекта определяет лишь небольшая доля элементов, дающих максимальный вклад, их влияние оказывается непропорционально велико, поэтому этот закон также называют принципом дисбаланса.

Под результатом процесса может пониматься, например, суммарный объем продаж многономенклатурного товара, благосостояние населения страны, объем товара на складе, количество жителей городов и т.п. Важным является то, чтобы число составляющих (количество ассортиментных позиций, население страны, количество городов и т.д.), было бы велико. Популярность закона Парето определяется с одной стороны его чрезвычайной простотой и наглядностью, а с другой стороны -возможностью применения в анализе очень широкого круга процессов.

Применение закона Парето

Как показывает практика применения закона Парето в логистике, соотношение 20:80 не является абсолютным и универсальным, хотя, как правило, отклонения от этого соотношения не очень велики. Зачастую, соотношение 20:80 трансформируется в 15:85 или в 30:70. Отметим, что взаимодополняемость до 100% входящих в исследуемый закон величин, не является обязательной. Можно рассматривать следствие принципа дисбаланса в формулировке, например, 10:70 или 50:95.

На принципе дисбаланса основывается ABC-анализ, при проведении которого строится график зависимости совокупного эффекта от количества элементов, отсортированных в порядке убывания их вклада. Такой график

Таблица 1.

называется кривой Парето, кривой Лоренца или ABC-кривой. По результатам анализа ассортиментные позиции ранжируются и группируются в зависимости от их вклада в эффект. В логистике ABC-анализ обычно применяется для исследования поартикульных объемов отгрузки и частоты обращений к позиции ассортимента, а также для ранжирования клиентов по количеству или объему заказов.

Если п обозначает номер ассортиментной позиции в упорядоченной по убыванию вклада в эффект последовательности из N позиций, то Xn = п/ N. Если yn обозначает суммарный эффект первых п позиций последовательности, то Yn= yn/ yN , а предметом изучения в ABC-анализе является зависимость Yn(Xn). При изучении процессов с большим количеством элементов N можно перейти от дискретных зависимостей к их описанию непрерывными функциями. Предметом изучения будет зависимость Y(X). Отметим очевидные нормировочные условия: Y(0)=0, Y(1)=1.

Практические примеры

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих применение принципа Парето в логистике. На рис. 1 представлены кривые Лоренца для объема отгрузок со склада ряда разнопрофильных дистрибьюторских компаний (1 -компьютеры и компьютерные комплектующие, 2 - типографские краски, 3 -книжная торговля, 4 - кондитерские изделия, 5 - фармацевтика).

Из рис. 1 видно, что хотя все кривые демонстрируют выраженный дисбаланс, точка на графике с координатами X= 20%, Y= 80% точкой притяжения представленного семейства кривых не является. Точкой притяжения называется точка, в малой окрестности которой проходят все кривые семейства. По представленным данным 20% ассортимента обеспечивают от 80 до 90% отгрузок, а 80% отгрузок приходится на долю ассортимента, составляющую от 10 до 20%. В таблице 1 представлены соотношения доли ассортимента и доли отгрузки для изучаемых компаний в той точке, где сумма этих долей равна 100%.

Рис 1. Кривые Лоренца для объема отгрузок ряда разнопрофильных дистрибьюторских компаний (1 - компьютеры и компьютерные комплектующие, 2 - типографские краски, 3 - книжная торговля, 4 -кондитерские изделия, 5 - фармацевтика).

Дополнительные возможности ABC-анализа

На сегодня в практических приложениях функциональная зависимость кривой Лоренца не используется, хотя, как будет показано ниже, анализ характеристик этой кривой позволяет получить дополнительную количественную информацию об изучаемом бизнес-процессе.

В настоящее время не существует корректной теоретической модели ABC-анализа для логистических процессов. Мы покажем, что обобщенная трактовка закона Парето позволяет получить достаточно неожиданные результаты, которые могут стать отправной точкой в построении математической модели ABC-анализа.

Если бы вклад в эффект от различных ассортиментных позиций был одинаков, т.е. дисбаланс бы отсутствовал, то зависимость Y(X) имела бы вид Y(X)=X. Отклонения от этой зависимости определяют величину дисбаланса, т. е. неравномерность в распределении вклада от различных ассортиментных позиций. Возникает вопрос: есть ли в зависимости Y(X) какие-либо

универсальные закономерности? Повторяемость (или неслучайность) функции Y(X) должна свидетельствовать о наличии некоторого механизма, определяющего статистическую зависимость между спросом на различные ассортиментные позиции. Ниже будет показано, что такие закономерности в логистических процессах действительно существуют.

Обобщение закона парето или самоподобие кривой Лоренца

Сформулируем теперь гипотезу, обобщающую закон Парето. Предположим, что числовые характеристики дисбаланса (не обязательно 20:80) не меняются, если рассматривать не весь ряд значений, а лишь некоторую долю первых членов последовательности. Из сделанного предположения следует вполне определенный функциональный вид ABC-кривой, причем оказывается, что любая ее часть геометрически подобна всей кривой, поэтому это предположение можно назвать гипотезой о самоподобии кривой Лоренца.

Универсальный вид ABC-кривой - степенная зависимость

Предположим, что в произвольной выборке позиций, отсортированных по убыванию их мощности , вклад первых позиций, составляющих долю к (0 < к < 1) в ассортименте, обеспечивает долю l (0 < l < 1) в суммарном эффекте. Значения параметров к и l в предлагаемой гипотезе не фиксируются, в частности, для классического закона 20/80 к=0,2, l=0,8.

Обобщение закона Парето математически будет выражаться следующим образом. Существуют постоянные к и l такие, что:

Y(kX )= lY(X) при 0 <X <1 (1).

Функциональное уравнение (1) при некоторых естественных ограничениях имеет единственное решение:

Y(X) = Xa , где a=ln(l)/ln(k). (2).

Для доказательства справедливости последнего утверждения представим функцию Y(X) в виде:

Y(X) = XaZ(X) (3).

Подставляя выражение (3) в уравнение (1), для функции Z(X) получим:

Z(kX)= Z(X) (4).

Если предположить, что функция Z(X) непрерывна в окрестности X=0, то нетрудно показать, что Z(X) = const, а поскольку Y(1)=1, то Z(X)=1, что и доказывает единственность решения (2).

Для классического закона 20/80 степенной параметр a имеет следующее значение: a= ln(0,8)/ln(0,2)~0,139.

Одним из распространенных практических способов применения ABC-анализа в логистике является разнесение ассортиментных позиций по группам A, B и C по их накопительному вкладу в суммарный эффект. Обычно к группе A относят позиции, дающие 80% эффекта и, как правило, составляющие около 20% позиций. К группе B обычно относят позиции, чей вклад в результат вместе с позициями группы A составляет 95%, причем в группу B обычно входит около 30% ассортимента. На 50% ассортимента, входящего в группу C обычно остается около 5% результата. При степенном законе (2) для кривой Лоренца одновременное выполнение соотношений 20/80 и 50/95 невозможно, поскольку первое из этих соотношений реализуется при a~0,139, а второе - при a~0,07.

Распределение вероятностей результата - распределение Парето

Найдем, как должны быть распределены значения вкладов от различных ассортиментных позиций, чтоб ABC-кривая (кривая Лоренца) имела степенной вид (2).

Пусть p(t) - плотность распределения ассортиментных позиций по величине их эффекта. По определению плотности распределения, или частоты, доля ассортимента, попадающего в интервал (t, t+dt) составляет p(t)dt. Тогда величины X и Y будут определяться выражениями:

X (T) = j p (t )dt

Y (T) =-ftp (t )dt

(5),

где <t >-jtp(t)dt - нормировочный множитель, обеспечивающий

выполнение соотношения Y(T=0)=1. Из свойств нормировки плотности распределенияp(t) следует X\T=0=1.

Уравнения (5) и (6) определяют параметрическое представление функции Y(X).

Для нахождения плотности p(t) продифференцируем выражение (2) по параметру T. Из формул (5) и (6) очевидно следует:

dX - -P(T)

dT (7) dY = - Tp (T)

dT ~ < t > (8).

Сокращая в полученном выражении левую и правую части на функцию p(T), получим T=a<t>X-1 при р(Т)Ф 0. Выражая величину X через параметр T, найдем:

X=(a<t>)u<1-aTu(1-a (9).

Дифференцируя выражение (9) по T и используя уравнение (7), окончательно получим

= 0, б < c (10).

p (T)

где A= c1/(1a)/(1-a) , <t>= c/a, а функции X и Y существуют при 0<a<1.

Отметим, что функция Y(X) от масштабного параметра c не зависит, т.е. ABC-кривые для распределения (10) определяются только степенным показателем распределения a.

Распределение с плотностью (10) хорошо известно и в литературе по теории вероятностей и носит название распределения Парето, или гиперболического распределения. Такие распределения относятся к распределениям с тяжелыми хвостами, степенная скорость убывания плотности распределения (10) при больших значениях аргумента мала по сравнению с экспоненциальным затуханием, характерным для показательного, гауссовского и подобных распределений. У распределения Парето вероятность экстремально большого значения многократно выше, чем у распределений с экспоненциальным затуханием плотности, поэтому старшие вероятностные моменты у распределения Парето отсутствуют, в частности, при a<0,5 отсутствует (равна бесконечности) дисперсия, т.е. второй момент.

Итак, показано, что из гипотезы о самоподобии АВС-кривой, являющейся обобщением закона Парето, однозначно следует, что эта кривая имеет степенную зависимость, а распределение для амплитуды вклада от позиции является распределением Парето.

В таблице 2 представлены зависимости накопительного вклада от доли позиций в ассортименте для степенного закона (2) при ряде значений параметра a. Цветом выделены значения, соответствующие классическому закону 20/80 .

Таблица 2.

Сравнение с фактическими данными

Обратимся к реальным данным, полученным при анализе объемов отгрузки со складов ряда компаний разного профиля. Для изучения степенных зависимостей удобно перейти к логарифмам величин или к логарифмическим координатам. В этом случае степенные зависимости переходят в линейные, а наклон прямых определяется значением степенного показателя. На рис. 2 представлены те же данные по объему отгрузки со складов дистрибьюторских компаний, что и на рис. 1, но в логарифмических координатах.

I-1-L 0,01

Рис. 2. Объем отгрузок в логарифмических координатах

Рис. 2 показывает, что в реальных ситуациях область ABC-кривой, определяемая хвостами распределения, т.е. элементами с максимальным вкладом, дающими 30-65% совокупного результата (примерно 3-10%

Наличие такой зависимости, характерной для различных бизнесов, позволяет надеяться на возможность построения теоретической модели спроса в многономенклатурной дистрибуции.

Заключение

В работе рассмотрены две формулировки закона Парето. В узком понимании этот закон является констатацией наличия дисбаланса во многих процессах, причем его количественное выражение может значительно отличаться от классического закона 20/80 . В обобщенном понимании закон Парето приводит к самоподобию ABC-кривой и может послужить отправной точкой при построении модели многономенклатурного спроса. На примере ряда дистрибьюторских компаний проанализированы возможности использования обобщения закона Парето. В заключение хотелось бы подчеркнуть, что ABC-анализ, ставший в современной логистике практически рутиной, существенно более глубок и информативен, чем принято считать.

ассортимента), действительно удовлетворительно описываются несамоподобной степенной зависимостью Y(X) = BXa, где степенной параметр a принимает значения от 0,33 (кривая 5) до 0,8 (кривая 2).

В таблице 3 представлены значения параметров a и B для компаний 1-5.

Таблица 3

Литература

1. Бауэрсокс Д. Д. Клосс Д. Д. Логистика: интегрированная цепь поставок. -М.: ЗАО Олимп-Бизнес , 2001 - 640 с.

2. Гаджинский А.М. Логистика. - М.: Издательско-торговая корпорация Дашков и К , 2003 - 408 с.

3. Джонсон Д., Вуд Д., Вордлоу Д., Мерфи П. Современная логистика. - М.: Издательский дом Вильямс , 2002 - 624 с.

4. Дыбская В.В. Логистика для практиков. Эффективные решения в складировании и грузопереработке. - М.: ИПТИЛ ВИНИТИ РАН, 2002 -

264 с.

5. Миротин Л.Б., Ташбаев Ы.Э., Порошина О.Г. Эффективная логистика -

М.: Экзамен, 2003 - 477 с.

6. Уотерс Д., Логистика. Управление Цепью поставок: Пер. с англ. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003 - 503 с.

7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах.: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 1266 с.