Построение асимптотического решения задачи об авторезонансе. Внешнее разложение.1

Гарифуллин Р.Н. (grustem@gmail.com)

Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН

1 Введение

Постановка задачи. В данной работе исследуется нелинейное уравнение второго порядка, возмущенное быстро осциллирующей функцией с малой амплитудой:

d2U /Ф(т )\

- + V(u) = ef (т)cos - , t> 0, 0 <e < 1, т = et. (1.1)

dt2 \ e J

В качестве фазы возмущения берется функция -(т) = т - т3ф(т),ф(0) = 0; здесь f(т),ф(т) - гладкие (бесконечно дифференцируемые) функции. Считается, что точка и = 0 является точкой устойчивого равновесия невозмущенного уравнения. Рассматривается случай общего положения V (0) = 0. Без ограничения общности полагаем, что V (0) = 1. Рассматриваются решения, которые в начальный момент находятся вблизи нуля:

(и| + u)t=0 = O(e1/3), e - 0. (1.2)

Для таких решений ставится задача о построении асимптотики при e - 0, пригодной на большом временном интервале 0 < t < O(e-1). Особый интерес представляют решения, амплитуда которых нарастает со временем до величин порядка Назовем такие решения авторезонансными.

Авторезонансом принято называть явление значительного роста амплитуды колебаний нелинейных систем под действием малого возмущения [1, 2, 3]. Подобные эффекты возникают и играют важную роль в ряде физических систем, например, в ускорителях релятивистских частиц [4, 5, 6]. Рассматриваемые решения описывают явление авторезонанса.

Из вида исходного уравнения (1.1) видно, что если главный член асимптотики имеет порядок O(1),e - 0, то он представляет собой решение невозмущенного уравнения. В работе [7] было построена полное асимптитическое решение в виде ряда по целым степеням e:

и = W (-(т )/e, т) + £ ek Uk (-(т )/e, т ),e - 0. fc=i

1Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 03-01-00716, Научные Школы 1446.2003.1, INTAS 03-51-4286.

Все коэффициенты этого разложения были определены однозначно. Однако, результаты работы [7] не позволяют оценить количество решений такого типа. Эта проблема решается в данной статье.

Предпринятые ранее исследования выявили неоднородную по времени структуру решения. В рассматриваемой задаче было обнаружено явление схожее с начальным погранслоем. Для небольших времен t <С е-1 было получено полное двухпараметрическое асимптотическое решение - так называемое внутреннее разложение.

В данной работе дается конструкция асимптотического решения для далеких времен е-1/3 <С t < O(e-1). Такие асимптотики принято называть внешним разложением, если следовать терминологии метода согласования [8]. Главный член асимптотики определяется аналогично [7]. Структура поправок определяется из соображения согласования с внутренним разложением. В процессе построения используется идеи метода усреднения Крылова-Боголюбова [9] и нелинейного метода ВКБ [10].

Сформулируем основной результат для главного члена асимптотики: Теорема 1. Пусть 3V(4)(0) - 5(V (0))2 = 0 и выполнены условия

f2, s 192ф(0)

f2(0) >--> 0

J {J) 3V(4)(0) - 5(V (0))2

Тогда существует асимптотическое решение уравнения (1.1) следующего вида:

u(t,e) = w(a/uj(A),A) + O(e),e - 0, е-2/3 < t < O(e-1).

Здесь w(t,A) решение невозмущенного уравнения,

а = е-1Ф(т) + Пс(г) + O(e1/12), A = Aq(t ) + O(e7/12), т = et.

Функции Q0(t), A0(t) определяются из алгебраических уравнений. Два произвольных параметра содержатся в старших поправках разложения для а, A.

Основная часть данной работы посвящена конструкции старших поправок. В работе строится полное асимптотическое решение в виде ряда по степеням е.

2 Решение невозмущенного и линеаризованного уравнения.

Конструкция внешнего разложения основаны на семействе периодических решений невозмущенного уравнения:

В этом разделе описывается двухпараметрическое семейство таких решений.

Поскольку уравнение (2.1) является автономным, то один произвольный параметр содержится в сдвиге фазы. В качестве второго параметра можно выбрать любой из первых интегралов. В данной работе из соображений согласования с внутренним разложением удобно выбрать полную амплитуду первой основной гармоники колебаний.

Для решений этого уравнения можно доказать следующее утверждение:

Лемма 1. Для уравнения (2.1) существует 2-х параметрическое семейство решений w(t; A,t0) = W(a, A), где функция W(a, A) гладкая по A 2п периодическая по переменной a = u(A)t +10, полная амплитуда первой основной гармоники - A и сдвиг фазы t0 являются произвольными параметрами.

Доказательство утверждения следует из интегрируемости уравнения (2.1). Гладкость по A в окрестности нуля A G [0,A0] можно показать, воспользовавшись гладкостью решения уравнения по начальным данным [11].

Для функций W(a,A),u(A) методом Ляпунова-Пуанкаре [11] может быть построена асимптотика при A - 0. Эта асимптотика имеет следующий вид:

W i A) = A cos a+A2V(cos2a-3)+A(V (0) + V 4(0)) cos3a+O(A4), (2.2)

12 192

uj(A) = 1 + A (3V 4)(0) - 5(V (0))2) + O(A4), A - 0. (2.3)

Также можно показать, что ui(A) - четная функция A. Для энергии невозмущенных колебаний

E = и2 (A)(dW + V (W) при A - 0 верна асимптотика:

E (A) = A- + AA- (27V 4)(0) - 37(V ,(0))2) + O(A5), A - 0. 2 576

Для всех приведенных функций существует полное асимптотическое разложение в виде рядов по целым степеням A.

Описанное в лемме решение будет использоваться в качестве главного члена внешнего разложения при подходящей модуляции амплитуды A и сдвига фазы t0.

При построении асимптотичекого решения существенную роль играют решения неоднородных линеаризованных уравнений, правая часть которых является 2п периодической функцией a. Эти уравнения имеют следующий вид:

u2(A)52Q + V (W(a; A))Q = G(a; A), (2.4)

здесь W(a; A) - решение нелинейного уравнения (2.1), G(a; A) - 2п периодическая функция a, зависимость от параметра A возникает в правых частях уравнений (2.4) и, следовательно, в решении Q(a; A).

Ведем обозначения, в терминах которых удобно исследовать линеаризованное уравнение (2.4):

Определение 1. Обозначим через (P) и \P] среднее по периоду от P и интеграл от функции P без среднего значения:

(P) = I P(а)<1а, \P] (а) = Jo (P(а') - (P))da>.

Нас интересуют ограниченные периодические по а решения уравнения (2.4). Известно [11], что ограниченные решения существует лишь при выполнение условия:

(Wa G) = 0. (2.5)

Обозначим через C2 величину, определяемую правой частью уравнения из соотношения

\WaG] (а) - ujWA(a)G(a)} + JC2 = 0. (2.6)

Тогда общее периодическое можно записать в виде:

Q = (Wa(а)(с1 + - \\WaG]] (а) - \WaG] (а)) +

V V j ) (2.7)

+WaH(C2 + \WaG] (а)))/E(A).

Оно содержит одну произвольную константу Ci.

Из соображений метода согласования удобно использовать решение, которое не содержит первых гармоник, т.е. решение удовлетворяющее условиям

(Q) cos а) = 0, (Qsin а) = 0. (2.8)

Эти требования можно рассматривать как уравнения на константы Ci,C2. В таком случае выражение (2.6) следует трактовать, как условие на правую часть G; A) уравнения (2.4).

Эти рассуждения можно сформулировать в виде следующего утверждения:

Лемма 2. Для уравнения (2.4) существует единственное ограниченное 2п периодическое решение (2.7), не содержащее первых гармоник, тогда и только тогда, когда выполняются условия (2.5),(2.6). Параметры Ci,C2 однозначно определяются из условий (2.8).

Как видно из приведенной леммы, для построения периодического решения линеаризованного уравнения требуется выполнение двух условий для правой части. В конструкциях, которые приводятся ниже, на каждом шаге правые части уравнений содержат два произвольных параметра D, S в весьма специфическом виде:

G, A) =F(а, A) - 2-S3,2.W - D(-daW + 2-5actW). (2.9)

Требования (2.5),(2.6) приводят к однозначному определению этих параметров. В следующей лемме приведены выражения для этих параметров и их асимптотики при A -> 0, а также найдена асимптотика решения уравнения (2.4). Введем определение:

Определение 2. Обозначим через An, n G Z множество функций, зависящих от A и возможно от других переменных со следующим свойством. Функция F(A) G An -ФФ- F(A) = AnF(A), где F(A) гладкая функция разлагается в ряд Тейлора при A - 0.

В терминах элементов этого пространства с различными n будут выписываться коэффициенты асимптотических рядов.

Лемма 3. Пусть правая часть уравнения (2.4) имеет вид (2.9). Тогда для периодичности решения (2.7), не содержащих первых гармоник, необходимо выбрать S, D следующим образом:

D = u}(A){Wa (a,A)F (a, A))/E (A), (2.10а)

S = w(A) \WaF] (a) - u(A)WA(a,A)F(a, A)) + u(A)C-) /E(A). (2.10б)

Если F(a, A) G An, тогда L(a, A) G An, D(A) G An, S(A) G An-1.

Доказательство. Из условий (2.5),(2.6) после некоторых упрощений получаются формулы (2.10). Из гладкости и асимптотик при A - 0 для функций E(A) и W(a, A) имеем:

da W = AWi(a,A), Oa W = W2(a,A), E = AEF(A).

Здесь и всюду ниже функции с волной - гладкие функции своих аргументов. Поэтому из формул (2.10а), (2.10б), (2.7) последовательно определяются:

D = AnD (A), S = An lF(A), L = AnL(a, A).

Лемма доказана.

3 Усреднение в быстрой переменной.

Целью данного пункта является переход к усредненным уравнениям. Для рассматриваемого уравнения (1.1) с внешней осциллирующей силой существует много решений с двухфазной асимптотикой [12]. В данной работе мы интересуемся однофазными решениями, которые выделяются резонансным условием близости собственной и вынуждающей частоты: u(A) - -(т) <С 1. В качестве главного члена асимптотического решения берется решение невозмущенного уравнения с медленной деформацией параметров:

и w W(a,A), a = e 1-(т) + Q(t,e), A = A(t,e).

Как видим структура быстрой фазы a w e 1 - (т) фиксируется в главном.

Переход от исходного уравнения (1.1) к усредненным уравнениям осуществляется посредством замены

u(t, е) = U(а, A, П, т,а,е), т = et, а = -(A) - Ф'(т),

где n(t,e),A(t,e) новые неизвестные переменные. Как это делается в похожих задачах [10] замена выбирается не точной, а асимптотической:

те те

U(а, П, A, т, е, а) = W (а,Л) ек атикт(а, Q,A,t ), еа - 0. (3.1)

k=i m=0

В отличие от известных методов [10] предлагаемый анзац содержит разложение по малой величине

а = -(A) - Ф'(т), (3.2)

которая априори неизвестна, поскольку функцию A(t, е) еще предстоит найти. Такой подход значительно упрощает изложение и позволяет найти эффективные асимптотические формулы.

Здесь и ниже все ряды понимаются как асимптотические; вопрос о сходимости рядов не обсуждается.

Целью замены является переход к таким уравнениям для A, П, которые бы не содержали зависимости от быстрой переменной а. Такие уравнения обычно называются усредненными. Они являются отдаленными аналогами уравнений эйконала и переноса в методах типа ВКБ:

Л{£~1Ф^) + П) = -(A) + £ £ екA, т), (3.3а)

k=1 m=0

dA тете

-jt = Е Е екаmDкm(П, A, т). (3.3б)

к=1 m=0

На данном этапе вычисляются коэффициенты рядов (3.1),(3.3). Дополнительным ограничением является требование периодичности функций икт(а, П, A, т) по быстрой переменной а. Именно это (секулярное) условие, вместе с требованиями отсутствия первых гармоник, приводит к однозначному определению коэффициентов рядов (3.1),(3.3).

С учетом замены уравнение на U(а, A, П, т, а, е) приобретает вид:

+ V(U) = 4е/ о (а - П). (3.4)

Здесь оператор полной производной по t от функции U выписывается обычным образом с учетом зависимости от t всех переменных.

Рекуррентная система задач для Ukm получается обычным образом. Зависимость от быстрой переменной а находится из линейных уравнений:

-202аUkm + V(W)Ukm = A, П, T) - 2-SkmW-

-Dm (-(A)da W + 2-da OaW ) ,k > l,m > 0. (. )

Функции Gkm из правых частей вычисляются через предудущие поправки; например, при k =1 они имеют вид:

G10 =f (т) cos(a - П),

Gn = - 2и ОстПию - 0nS100CT W - OqD10OaW, (3

G1m = - 0-2 U1,m-2 - 2u0<rnU1,m-1 -

- 0nS1,m-10CTW - 0nD1;m-10AW, m > 2.

На каждом шаге правые части содержат пару коэффициентов Skm, Dkm рядов (3 3) Эти коэффициенты определяются одновременно с решениями Ukm из секулярных условий (2 10)

Для решений уравнений (3 5) доказывается следующее утверждение:

Теорема 2. Для исходного уравнения (1.1) существует асимптотическая замена вида (3.1) такая, что усредненные уравнения на новые неизвестные A, П не содержит быстрой переменной a.

Для решения Ukm и коэффициентов Dkm, Skm верно: Ukm G A1-k, Dkm G A1-k,

Skm G A- k.

Доказательство. Утверждение теоремы следует из лемм 2, 3, если доказать, что Gkm G A1-k. Эта формула доказывается индукцией по k.

Из представления (3.6) функций G1m видно, что требуемая асимптотика верна. Докажем ее для Gkm при k > 1.

Предположим, что утверждение теоремы доказано для всех k < n и докажем ее для k = n. Функция Gnm состоит из дух частей - первая G1nm возникает из-за нелинейности V(u) в исходном уравнении, вторая из-за оператора полной

производной по t. Для функции G1nm имеем:

G1 =- VV(W) V V U- и- u- =

1=2 ii+i2+...+ii=n ji+J2+-+3i=m

= - E V+1 (a, A) E A1-t1 U.i,-i A1-*2 U,2,2... A1-*1 =

1=2 ii+i2+...+ii=n ji+J2+...+Jl=m

= £ A1-nGnm(a, П^т) G A2-n. 1=2

Для второй части G2nm можно легко убедится, что G2nm G A1-n, следовательно:

G = G1 + G2 1-n.

Gkm = Gkm + Gkm G A .

Теорема доказана.

Как видно из полученных результатов, коэффициенты асимптотических рядов (3.1), (3.3) имеют особенности при A - 0. Их происхождение связано с асимптотикой энергии E(A) = A2/2 + O(A3), A - 0. В частности, коэффициент S10 w A-1 при A - 0. Более точно:

Следствие 2.1. Для коэффициента S10 верна следующая формула:

S10(П,A,T ) =--2E (A)-+ 0(l), A - 0. (3.7)

Эта формула играет важную роль в дальнейших построениях Итогом данного параграфа являются усредненные уравнения (3.3).

4 Идентификация промежуточной переменной.

Целью данного пункта является редукция усредненных уравнений (3.3) после выделения в них главных членов асимптотики. При построении асимптотики для этих уравнений возникает новая переменная е1/21, которая является медленной по отношению к t и быстрой по отношению к т = et.

Полученные выше усредненные уравнения (3.3) содержат малый параметр. Из них требуется извлечь асимптотику функций П^, е), A(t, е) при е - 0 на достаточно далеких временах t = O(e-1). На первый взгляд эти уравнения весьма похожи на уравнения в переменных действие-угол с малым возмущением. Однако, резонансное условие а = -(A) - Ф'(т) = о(1),е - 0 делает непригодным известные подходы [9]. Кроме того, надо иметь в виду, что для функций A(t,e), П^,е) известна структура асимптотики при е - 0, которая возникает из требования согласования со внутренним разложением.

С учетом этих двух обстоятельств сделаем преобразование уравнений (3.3), выделив главные члены асимптотик:

A = Ao(t )+ е7/12\(т )A1 (t,e), (4.1)

П = По(т)+ е7/12П^,е). (4.2)

Здесь A0(т), П0(т) описывают амплитуду и сдвиг фазы в главном; функции A1, П1 описывают поправки; множитель \(т) добавлен для удобства, выражение для него будет предъявлено чуть позже.

Подставим выражения (4.1), (4.2) в уравнения (3.3), получим:

+ е7/12 = eDlо(По, Л, т) + о(е),

еП0 + е1/12 = -(Ao) - Ф'(т) + e7/12-(Ao)XAx + O(e).

Здесь использовалась явная формула (3.2) и разложение функций -(A), D10(A, П, т) при е - 0 в окрестности точки П0, A0. Предполагая, что в первом выражении производная e7/12dt(XA1) имеет меньший порядок при е - 0, чем е и приравнивая нулю выражения при старших степенях е получаем алгебраические уравнения для определения A0, П0:

-о) = Ф'(т), (4.3)

-/(т )-(Ao(t ))Ao(t )sin = 2E(Ao)A0(t ). (4.4)

При получении уравнения (4.4) использовалась явная формула для D10. Решения этих уравнений берутся в качетсве главных членов в (4.1), (4.2). Для разрешимости полученных алгебраических уравнений необходимы некоторые дополнительные условия на исходные данные.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда существует т* > 0 такое, что при т £ [0, т*] уравнения (4.3),(4.4) разрешимы в классе гладкш функций, причем А0(т) > 0.

Доказательство. Так как и(А0) - гладкая функция от А2 то (4.3) можно решать относительно А^. Воспользуемся теоремой о неявной функции. При т = 0 имеем решение А0(0) = 0. В силу условий теоремы имеет место неравенство:

ди 3V(4)(0) - 5(V (0))2 =0

dR(0) 48 ~7 = 0

Так как Ф (0) = 0, Ф ;(0) = 6ф(0) = 0, то решение уравнения (4.3) относительно А20 представляется гладкой функцией с выделенным множителем т2, т.е. А02(т) = т^0(т), R0(0) = 0. При достаточно малых т имеем:

6ф(0)

Так как при выполнении первого из условий теоремы правая часть равенства положительна, то можно извлечь корень из обеих частей равенства и получить представление для решения уравнения (4.3):

Ао(т) = ту R (т) = тА1о(т). Уравнения (4.4), очевидно преобразуется к виду:

2E (Ас(т ))А0(т)

sinQ0 = -

/ (т )и(Ао(т ))Ао(т)

(4.5)

(4.6)

Для локальной разрешимости этого уравнения в окрестности точки т = 0 необходимо, чтобы модуль правой части при т = 0 был меньше 1. В силу (4.5) и с учетом условий теоремы имеем место неравенство:

2E (Ао(т ))А0 (т)

/ (т )и(Ао(т ))Ао(т)

2А0(0)

/ (0)и(Ао(0))

2л/6Ф'(0)/7

I/(0)

< 1,

следовательно уравнение (4.4) разрешимо. Так как правая часть (4.6) гладкая функция, то корень Г20(т) также является гладкой функцией в достаточно малой окрестности нуля. Теорема доказана.

В дальнейшем всюду предполагаем, что условия теоремы 1 выполнены.

Необходимо заметить, что при выполнении условий теоремы для уравнения (4.3) существует единственное решение, а для уравнения (4.4) существует два корня на отрезке Какой из корней следует выбрать будет показано ниже.

После определения главного члена функции A можно уточнить структуру по е для дополнительного параметра а. С использованием выражений (4.1), (4.3) для а получаем следующую асимптотику при е - 0:

те \к лк

а = -(A) - Ф'(т) = £е^12-))Л^.

После этого все двойные ряды (3.1),(3.3) можно переразложить по степеням е.

При указанных в (4.3), (4.4) выборе функций A0, П0 усредненные уравнения (3.3) переходят в уравнения для A1, П1. Если в качестве Л выбрать:

Х(т) = signD10(T) D1 (T)

- (т)

то уравнения приобретают вид симметричный в главных членах:

dA е

=D(t)П1 + J2 еп/12Вп(т, A1, П1), (4.7а)

е1/2 =sign(-1(T)D10) D(t)A1 + en/12Fn(T, A1, П). (4.7б)

Через D(t) обозначено:

D(t ) = y/\w1(T )D{o(t )\ Коэффициенты рядов представляют собой полиномы по A , П :

Bn(t,A1,П1) =Bn(T)A1 + Л £ Dtim-733-1*

12k+7j<n+1 m=0 1=0

x П1+1-12к-7ЛA\ -n x - x -im,

il+...+im= +m

Fn(T,A1, П1) =Fn(T,A1) + £ Esn;l,m12k-7jJ-m-1x

+7.7-5 m=0 1=0 X ПП1-5-12к-73 Л A{ £ -n X ... X ,

(4.8)

ii+...+im=l+m